Justifique (3) para o caso h < 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos justificar a seguinte expressão

f u ≤ g x + h - g x h ≤ f v

Para o caso h < 0 .

Para isso, temos que ter ideia do Teorema do Valor Extremo.

Esse teorema diz que há números u e v em [ x + h ,   x ] tal que f ( u ) = m e f ( v ) = M , onde m e M são os valores mínimo e máximo absoluto de f em [ x + h ,   x ] .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Suponhamos que h < 0 .

Como f é contínuo em [ x   +   h ,   x ] , pelo Teorema do Valor Extremo e pela proprieda 8 das integrais, temos que:

m - h ≤ ∫ x + h x f t d t ≤ M - h

Isso é

f ( u ) - h ≤ ∫ x + h x f t d t ≤ f ( v ) - h

Desde que - h > 0 , podemos dividir toda a inequação por ( - h )

f u ≤ 1 h ∫ x x + h f t d t ≤ f ( v )

Pela equação 2, temos

g x + h - g x h = 1 h ∫ x x + h f t d t

Para h ≠ 0 , então, portanto

f u ≤ g x + h - g x h ≤ f ( v )

Que é a Equação 3, no caso em que h < 0

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração

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