Enunciado

Curvas diferenciáveis com torção zero estão em planos - Uma curva suficientemente diferenciável com torção zero estar em um plano é um caso especial do fato de que uma partícula cuja velocidade permanece perpendicular a um vetor fixo C se move em um plano perpendicular a C . Isso, por sua vez, pode ser visualizado como o resultado a seguir. Suponha que r t = f t i + g t j + h t k é duas vezes diferenciável para todo t em um intervalo [ a , b ] , que r = 0 quando t = a e que v ∙ k = 0 para todo t em [a, b]. Mostre que h t = 0 para todo t em [ a , b ] . (Sugestão: comece com a = d 2 r d t 2 e aplique as condições iniciais em ordem inversa.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideraremos o caso na tarefa de maneira puramente matemática. A generalização no modo físico segue de nossos cálculos, o que realmente afirmamos aqui é que existe um vetor constante no qual o caminho da partícula é perpendicular. Intuitivamente, esta é exatamente a definição de um caminho que se encontra em um único plano. Se o caminho "oscila" para fora do plano, ele pode "oscilar" de tal forma que o ângulo entre o vetor normal do plano e o vetor tangente do caminho não seja mais de 90 ° . Portanto, acabamos de simplificar nosso problema na primeira frase inicial da tarefa.

Se a curva estiver no plano, sua torção é igual a zero. A afirmação também é verdadeira na outra direção, se a torção for zero, a curva está no plano.

Vamos agora provar ambas as afirmações. Em nossa prova assumiremos que a curva é dada por sua parametrização de comprimento de arco. Os cálculos são os mesmos se a curva for dada pela parametrização diferente, pois sempre podemos reparametrizá-la.

Passo 2

Vamos supor primeiro que a curva está no plano. A parametrização da curva será denotada com γ t = ( x t , y t , z ( t ) ) . Se isso for verdade, existem vetores constantes ∃ p , q ∈ R 3   c o n s t a n t e tais que a equação do plano abaixo é satisfeita:

γ t - p ∙ q = 0

Se você não está confuso com a equação acima, pode pular esta explicação para o próximo parágrafo. A equação acima nada mais é do que uma generalização da equação do plano normal. Qualquer plano tem um vetor normal e neste caso escolhemos algum vetor q para ser perpendicular ao vetor

( γ t - p )

Precisamos do vetor p do mesmo plano apenas por razões técnicas. Queremos garantir que γ permaneça no plano para cada combinação linear de γ e algum vetor do plano. É claro que isso é apenas um formalismo que não será necessário na prova real. Agora pegando a derivada da equação acima. Segue que:

γ ' t ∙ q = 0   e   γ ' ' t ∙ q = 0

Isto implica que q é ortogonal tanto em γ ' ( t ) quanto em γ ' ' ( t ) . Portanto, podemos definir o vetor binormal

B = q q

Passo 3

No entanto, como q é um vetor constante (não depende de t ), segue-se que B também é um vetor constante. Como consequência:

B ' = - τ t N t = 0

Suponhamos agora que a torção da curva τ t = p a r a   t o d o   t ∈ I onde I é o intervalo no qual a curva é definida. Da última parte da prova, sabemos com certeza que se a torção é zero, então o vetor binormal é constante. Agora, para algum t 0 ∈ I , considerando a função:

f t = γ t - γ t 0 ∙ B

Pegando a derivada de f , nós temos que

f ' t = T t ∙ B = 0

Portanto, a derivada da função é zero. Isso significa que a função f é constante. Além disso, a função f é zero para o valor de algum t 0 fixo, portanto, a constante que é a função f é zero. Mas isso significa que a imagem f ( I ) está em um único plano devido ao fato de que f t = 0 em todos os lugares.

Resposta

Respondido acima!

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam f t uma função real duas vezes derivável e a → e b → vetores constantes. Mostrar que se g → t = a → + b → f t , então g ' → t × g ' ' → t = 0 .
Dados vec f (t) = t vec j + t^2 vec k e vec g (t) = t^2 vec j - t vec k , determinar:d) (vec g (t) * vec g (t))^'
Dados vec f (t) = t vec j + t^2 vec k e vec g (t) = t^2 vec j - t vec k , determinar:b) (vec f (t) * vec g (t))^'
Dados vec f (t) = t vec j + t^2 vec k e vec g (t) = t^2 vec j - t vec k , determinar:c) (vec f (t) xx vec f (t))^'
Dados vec f (t) = t vec j + t^2 vec k e vec g (t) = t^2 vec j - t vec k , determinar:a) (vec f (t) xx vec g (t))^'