Enunciado

Demonstre que

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x p = 0

para todo p > 0 . Isso mostra que a função logaritmo tende a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x .

Passo 1

Essa é uma questão interessante para mostrar que a função logaritmo, mesmo explodindo para x → ∞ , cresce bem lentamente em comparação com outras funções: isso é uma propriedade que se revela extremamente útil para o logaritmo como é visto em outras ciências...

Para demonstrar esse limite, vamos usar a boa e velha regra de L’Hospital!!!

Passo 2

Quando x → ∞ , ln ⁡ x → ∞ e x p → ∞ , de modo que temos uma identerminação do tipo ∞ / ∞ . Assim, podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x p = lim x → ∞ ⁡ 1 / x p   x p - 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 p   x p = 1 ∞ = 0

Resposta

Demonstração.

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