Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 69
Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.
Passo 1
Aqui a questão pede para primeiro esboçarmos o gráfico e no olhometro estimar o valor do limite pedido. Em seguida, aplicamos a regra de L’Hospital e comparamos o valor exato com o estimado.
Passo 2
O gráfico da função é esboçado a seguir
Note que conforme vai crescendo, o gráfico vai se aproximando de algo em torno de . Trata-se, portanto, de uma boa estimativa para o valor do limite.
Passo 3
Agora vamos calcular o limite para valer. Quando , a função tende a . Trata-se de uma indeterminação, mas não podemos aplicar a regra de L’Hospital ainda. Lembrando que , temos que
Desta forma, o limite que precisamos calcular é
Passo 4
É uma boa hora para fazer uma mudança de variável: . Assim, quando , . O limite fica
Note que se trata de uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos aplicar a regra de L’Hospital:
Assim,
Note que o valor exato do limite é próximo do estimado olhando para o gráfico.
Resposta
.