Enunciado

Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x

Passo 1

Aqui a questão pede para primeiro esboçarmos o gráfico e no olhometro estimar o valor do limite pedido. Em seguida, aplicamos a regra de L’Hospital e comparamos o valor exato com o estimado.

Passo 2

O gráfico da função y = 1 + 2 x x é esboçado a seguir

Note que conforme x vai crescendo, o gráfico vai se aproximando de algo em torno de 7 . Trata-se, portanto, de uma boa estimativa para o valor do limite.

Passo 3

Agora vamos calcular o limite para valer. Quando x → ∞ , a função tende a 1 ∞ . Trata-se de uma indeterminação, mas não podemos aplicar a regra de L’Hospital ainda. Lembrando que y = e ln ⁡ y , temos que

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + 2 x x = e lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 2 x

Desta forma, o limite que precisamos calcular é

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 2 x

Passo 4

É uma boa hora para fazer uma mudança de variável: t = 1 / x . Assim, quando x → ∞ , t → 0 . O limite fica

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 2 x = lim t → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 + 2 t ) t

Note que se trata de uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim t → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 + 2 t ) t = lim t → 0 ⁡ 2 / ( 1 + 2 t ) 1 = lim t → 0 ⁡ 2 1 + 2 t = 2

Assim,

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x x = e 2 ≈ 7,4

Note que o valor exato do limite é próximo do estimado olhando para o gráfico.

Resposta

e 2 .

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