Enunciado

Um cabo de metal tem raio r e é coberto por isolante, de modo que a distância do centro do cabo ao exterior do isolante é R . A velocidade v de um impulso elétrico no cabo é

v = - c r R 2 ln ⁡ r R

em que c é uma constante positiva. Encontre os seguintes limites e interprete suas respostas.

a) lim R → r + ⁡ v

b) lim r → 0 + ⁡ v

Passo 1

O enunciado pede para calcularmos dois limites para determinarmos a velocidade de propagação do impulso elétrico em dois regimes extremos. Para isso, vamos fazer uma mudança de variável que simplifica os limites: x = r / R . Assim, os limites ficam

lim R → r + ⁡ v = lim x → 1 + ⁡ - c x 2 ln ⁡ x

lim r → 0 + ⁡ v = lim x → 0 + ⁡ - c x 2 ln ⁡ x

Passo 2

Item (a):

Quando x → 1 + , ln ⁡ x → 0 , então

lim R → r + ⁡ v = lim x → 1 + ⁡ - c x 2 ln ⁡ x = 0

Ou seja, quando não há camada isolante ( R → r + ), a velocidade do impulso elétrico é nula.

Passo 3

Item (b):

Quando x → 0 + , temos uma indeterminação do tipo 0 ⋅ ∞ . Então vamos reescrever o limite como

lim r → 0 + ⁡ v = lim x → 0 + ⁡ - c x 2 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - c ln ⁡ x 1 / x 2

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim x → 0 + ⁡ - c ln ⁡ x 1 / x 2 = lim x → 0 + ⁡ - c / x - 2 / x 3 = lim x → 0 + ⁡ c x 2 2 = 0

Assim,

lim r → 0 + ⁡ v = 0

Desta forma, no limite do raio do cabo indo para 0 , a velocidade do impulso também se anula.

Resposta

a) lim R → r + ⁡ v = 0

b) lim r → 0 + ⁡ v = 0

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