Enunciado

Demonstre a Propriedade 1 do Teorema 8.

Passo 1

A Propriedade 1 diz o seguinte:

a xx b = - b xx a

Vamos definir o nosso vetor a como sendo

a = ( a_1 , a_2 , a_3 )

E nosso vetor b como sendo

b = ( b_1 , b_2 , b_3 )

Assim,

a xx b = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = |[[a_2,a_3],[b_2,b_3]]| i - |[[a_1,a_3],[b_1,b_3]]| j + |[[a_1,a_2],[b_1,b_2]]| k

a xx b = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = (a_2 b_3 - a_3 b_2) i - ( a_1 b_3 - a_3 b_1 ) j + ( a_1 b_2 - a_2 b_1 ) k

a xx b = (a_2 b_3 - a_3 b_2 , - a_1 b_3 + a_3 b_1 , a_1 b_2 - a_2 b_1)

Passo 2

Agora vamos fazer b xx a :

b xx a = |[[i,j,k],[b_1,b_2,b_3],[a_1,a_2,a_3]]| = |[[b_2,b_3],[a_2,a_3]]| i - |[[b_1,b_3],[a_1,a_3]]| j + |[[b_1,b_2],[a_1,a_2]]| k

b xx a = |[[i,j,k],[b_1,b_2,b_3],[a_1,a_2,a_3]]| = (a_3 b_2 - a_2 b_3) i - ( a_3 b_1 - a_1 b_3 ) j + ( a_2 b_1 - a_1 b_2 ) k

b xx a = (a_3 b_2 - a_2 b_3 , - a_3 b_1 + a_1 b_3 , a_2 b_1 - a_1 b_2)

Passo 3

Assim, temos que

a xx b = (a_2 b_3 - a_3 b_2 , - a_1 b_3 + a_3 b_1 , a_1 b_2 - a_2 b_1) = (- 1 (a_3 b_2 - a_2 b_3) , - 1 (a_1 b_3 - a_3 b_1) , - 1 (a_2 b_1 - a_1 b_2)) = - (a_3 b_2 - a_2 b_3 , - a_3 b_1 + a_1 b_3 , a_2 b_1 - a_1 b_2) = - b xx a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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