Enunciado

Demonstre o Teorema 6 . [Sugestão: Use a Definição 2 ou o Teorema do Confronto.]

Passo 1

E aí, pessoal? Tudo certo?

Bom, antes de começarmos a demonstração, vamos relembrar a definição 2:

Uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se para cada ε > 0 existir um inteiro correspondente N   tal que se

n > N então a n - L < ε

E o Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):

O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.

Basicamente:

se f x ≤ g x ≤ h ( x ) e lim x → p ⁡ f x = lim x → p ⁡ h x = L , então lim x → p ⁡ g x = L

A intenção então é usar uma das duas definições acima para demonstrar o Teorema 6 que nos diz o seguinte:

S e       l i m n → ∞   a n = 0 ,       e n t ã o       l i m n → ∞   a n = 0

Passo 2

Aqui nós usaremos o Teorema do Confronto (ou do sanduíche). Para todo número real, vale:

- a n ≤ a n ≤ a n

Por exemplo, se a n = - 2 , então:

- - 2 ≤ - 2 ≤ - 2

- 2 ≤ - 2 ≤ 2

O que é verdade.

Agora tomamos o limite:

l i m n → ∞ - a n ≤ l i m n → ∞   a n ≤ l i m n → ∞   a n

- l i m n → ∞ a n ≤ l i m n → ∞   a n ≤ l i m n → ∞   a n

Mas a hipótese do teorema é que l i m n → ∞   a n = 0 , então:

0 ≤ l i m n → ∞   a n ≤ 0

Logo, l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   a n = 0 , e está demonstrado, beleza?

Resposta

Teorema 6 demonstrado no passo 2.

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