Enunciado

Demonstre, usando a definição 6, que

underset(x -> - 3)(lim) (1)/((x + 3)^4) = oo

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado pede para demonstrarmos que o limite é infinto usando a definição 6, assim, devemos mostrar que para todo M > 0 , existe um número delta > 0 tal que se 0 < |x - a| < delta , então f (x) > M .

Passo 2

Bom, sei que parece estranho e soa um pouco “matematiquês” demais essa definição, mas vamos lá, não é tão difícil quanto parece...

O que precisamos fazer é para um número postivo qualquer denotado por M , achar um número delta que será função de M tal que para ponto próximos de x = a por uma distância menor que delta , o valor da função será maior do que M . Assim provamos que f cresce indefinidamente quando x se aproxima de a e assim o limite tende a oo .

Passo 3

Antes de começarmos, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar um pouco nossa tarefa: t = x + 3 . Quando x -> - 3 , t -> 0 . Assim, queremos calcular

underset(x -> - 3)(lim) (1)/((x + 3)^4) = underset(t -> 0)(lim) (1)/(t^4)

Devemos mostrar então que

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t^4) = oo

Passo 4

Para resolver o limite encontrado no passo 2, devemos achar delta tal que se 0 < |t - 0| < delta , então f ( t ) > M . Assim, devemos achar delta tal que

se 0 < |t| < delta , então (1)/(t^4) > M

Por outro lado, (1)/(t^4) > M se, e somente se,

t^4 < (1)/(M)

Desta forma,

|t| < (1)/(root(4)(M))

Assim, se tomarmos delta = (1)/(root(4)(M)) , temos que

se 0 < |t| < delta então (1)/(t^4) > M

De fato, se delta = (1)/(root(4)(M)) , então 0 < |t| < delta implica em 0 < |t| < (1)/(root(4)(M)) . Desta forma, temos que t^4 < (1)/(M) e assim (1)/(t^4) > M .

Assim provamos que

underset(t -> 0)(lim) (1)/(t^4) = oo

Desta forma provamos o que foi pedido.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.31) lim x → - 2 ⁡ 1 + 3 x = - 5
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.35) lim x → 1 ⁡ x ² = 1 ²
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.42) lim x → 1 ⁡ 4 x ² - 13 x + 12 = 3 ²
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.39) lim x → - 3 ⁡ 5 - x - x ² = - 1 ²
Prove que lim x → a ⁡ x ² = a ² ² ², se a for qualquer número positivo.