Enunciado

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

39) lim x → - 3 ⁡ 5 - x - x ² = - 1

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 5 - x - x ²

a = - 3

L = - 1

Sendo assim:

0 < x + 3 < δ

f x + 1 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

5 - x - x 2 + 1 < ϵ

6 - x - x 2 < ϵ

Fatorando:

- 1 ( x + 3 ) ( x - 2 ) < ϵ

Como o modulo de um número negativo é igual ao seu módulo positivo:

( x + 3 ) ( x - 2 ) < ϵ

Pela definição de módulo:

x + 3 | | ( x - 2 ) < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + 3 < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo ( x - 2 ) .   Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x + 3 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x + 3 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x - 2 ) subtrair 5 aos seus termos:

- 6 < x - 2 < - 4

Usando as propriedade de módulo para intervalos negativos:

| - 4 | < | x - 2 | < | - 6 |

4 < | x - 2 | < 6

Então

x - 2 < 6       e       x + 3 < δ

Substituindo :

x - 2 | | ( x + 3 ) = δ . 6 < ϵ

δ < ϵ 6

Isso significa que devemos impor sobre δ duas restrições, δ ≤ 1   e δ ≤ ϵ 6 . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 6 )

Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 6 ) , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x + 3 < δ

então

f x + 1 < ϵ

Isso prova que

lim x → - 3 ⁡ 5 - x - x ² = - 1

Resposta

δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 6 )

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Verifique que outra escolha possível de δ para mostrar que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 no exemplo $ é δ = min ⁡ 2 , ϵ 8 .
Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → a ⁡ c = c
Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 5 = 1
Comparando as definições 2,3 e 4, demosntre o teorema 1 da seção 2.3.
Verifique, usando argumento geométricos, que a maior escolha possível para o δ para que se possa mostrar que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 é δ = 9 + ϵ - 3 .