Enunciado

Demostre as Propriedades 2, 4 e 5 do produto escalar (Teorema 2).

Passo 1

Vamos começar com a Propriedade 2:

a ∙ b = b ∙ a

Vamos imaginar um vetor

a = a 1 , a 2 , a 3

E um vetor

b = b 1 , b 2 , b 3

Se fizermos o produto escalar

a ∙ b = a 1 , a 2 , a 3 ∙ b 1 , b 2 , b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

É o mesmo que fazermos o produto escalar

b ∙ a = b 1 , b 2 , b 3 ∙ a 1 , a 2 , a 3 = b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3

Porque a ordem dos fatores não altera o produto, show?

Passo 2

Agora Propriedade 4:

c a ∙ b = c a ∙ b = a ∙ ( c b )

Pegando nossos mesmos vetores a ,   b ali de cima, temos:

c a ∙ b = c a 1 , c a 2 , c a 3 ∙ b 1 , b 2 , b 3 = c a 1 b 1 + c a 2 b 2 + c a 3 b 3 = c a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = c a ∙ b

E, seguindo o mesmo raciocínio da primeira parte,

c a ∙ b = a 1 c b 1 + a 2 c b 2 + a 3 c b 3 = a ∙ ( c b )

Passo 3

E, pra fechar nossa provação braba, vamos a nossa ultima propriedade, a 5:

0 ∙ a = 0

Se a gente pega o vetor nulo e faz produto escalar com nosso vetor a tem que dar zero né? É ate meio intuitivo esse.. mas vamos lá:

0,0 , 0 ∙ a 1 , a 2 , a 3 = 0 a 1 + 0 a 2 + 0 a 3 = 0

Apito o árbitro. Fim de jogo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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