Enunciado

Derivada de cos ⁡ ( x 2 ) . Represente graficamente a função y = - 2 x sen ⁡ x 2 para - 2 ≤ x ≤ 3 . Depois, na mesma tela, faça o gráfico de

y = cos ⁡ x + h 2 - cos ⁡ ( x 2 ) h

Para h = 1.0 ; 0 . 7   e   0 . 3 . Experimente outros valores de h , incluindo valores negativos. O que acontece h → 0 ? Explique este comportamento.

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos. Precisamos obter os gráficos de múltiplas funções para entender o que acontece a medida em que diminuímos o valor de h . Além disto, a questão nos diz para testar outros valores aleatórios de h , a fim de que tenhamos certeza do que ocorre com a função. Esta intepretação vai surgir naturalmente a partir do momento em que observarmos as curvas. Entretanto, para poder explicar melhor o fenômeno por trás, vamos relembrar como obtemos a derivada de uma função f ( x ) pela definição. Para isto, calculamos o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Agora que relembramos este conceito, vamos direto as contas!

Passo 2

O nosso ponto de partida é obter o gráfico das funções y = - 2 x sen ⁡ x 2 e o gráfico da função

y = f ( x ) = cos ⁡ x + h 2 - cos ⁡ ( x 2 ) h

Quando h = 1 ; 0 . 7 e 0 . 3 . Sendo assim, temos:

Passo 3

A medida em que diminuímos o valor de h , podemos ver que as curvas da função f ( x ) se aproxima da curva da função - 2 x sen ⁡ x 2 . Inicialmente, temos a sensação de que, quando h → 0 + ,

f x → - 2 x sen ⁡ x 2

Passo 4

Vamos confirmar o que acontece quando h → 0 - e um número bem próximo de 0 + . Para isto, vamos fazer h = - 1.0 ; - 0.1   e   0.1 . Sendo assim, temos o seguinte gráfico:

Passo 5

Confirmamos agora que a nossa função f ( x ) nada mais é que a definição de derivada. Inclusive, a curva em que h = 0.01 encontra-se totalmente sobreposta do gráfico da função y = - 2 x sen ⁡ x 2 . Portanto, quando h → 0 , temos a derivada da função cos ⁡ ( x 2 ) , que é a função - 2 x sen ⁡ x 2 .

Resposta

Quando h → 0 , temos a derivada da função c o s ⁡ ( x 2 ) , que é a função y = - 2 x sen ⁡ x 2 .

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