Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

34. y = ( 2 x - 5 ) - 1 . ( x 2 - 5 x ) 6

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

y = g ( x ) . h ( x )

∴ y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '

Escrevendo quem seria g e quem seria h , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

g x = ( 2 x - 5 ) - 1  

h x = ( x 2 - 5 x ) 6  

Passo 2

Para encontrarmos a derivada de g , a regra que utilizaremos é a da cadeia, tranquilão? Utilizando-a, teremos:

g x ' = - 1 . 2 x - 5 - 1 - 1 . ( 2 x - 5 ) '

∴ g x ' = - 2 . ( 2 x - 5 ) - 2

Passo 3

Para encontrarmos h ' agora, também utilizaremos a regra da cadeia e, para derivarmos a função mais interna, utilizaremos a regra da potenciação, conforme discutido no George, beleuza? Bora lá!

h x ' = 6 . x 2 - 5 x 6 - 1 . ( x 2 - 5 x ) '

h x ' = 6 . x 2 - 5 x 5 . ( 2 x 2 - 1 - 5 )

∴ h x ' = 6 . x 2 - 5 x 5 . ( 2 x - 5 )

Passo 4

Agora que encontramos g ' e h ' , se substituirmos na regra que comentamos mais acima, teremos o seguinte:

y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '  

y ' = - 2 . 2 x - 5 - 2 . x 2 - 5 x 6 + 2 x - 5 - 1 . 6 . x 2 - 5 x 5 . ( 2 x - 5 )

Simplificando, teremos:

y ' = 6 . x 2 - 5 x 5 - 2 . 2 x - 5 - 2 . x 2 - 5 x 6

Resposta

y ' = 6 . x 2 - 5 x 5 - 2 . 2 x - 5 - 2 . x 2 - 5 x 6

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