Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

36. y = 1 + 2 x . e - 2 x

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

y = g ( x ) . h ( x )

∴ y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '

Escrevendo quem seria g e quem seria h , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

g x = ( 1 + 2 x )

h x = e - 2 x  

E uma outra coisa importante é sobre a derivada de uma função exponencial. Uma derivada desse tipo é dada pela regra:

( a f ( x ) ) ' = a f x . l n ⁡ a . ( f ( x ) ) '

Sabendo dessas informações, agora conseguimos resolver a derivada tranquilo. Bora lá!

Passo 2

Encontrando primeiro g ' , teremos:

g x ' = ( 0 + 2 . x 1 - 1 )

∴ g x ' = 2

Passo 3

Agora só falta encontrarmos h ' . Se utilizarmos a regrinha para derivar uma função exponencial que comentamos, a derivada de h sai facinho, se liga!

h x ' = e - 2 x . ln ⁡ e . ( - 2 )

∴ h x ' = - 2 . e - 2 x

Passo 4

Agora que encontrarmos g ' e h ' , jogando na regra do produto para encontrarmos y ' , teremos:

y ' = g x ' . h x + g x . ( h x ) '

y ' = 2 . e - 2 x - 1 + 2 x . 2 . e - 2 x

y ' = 2 . e - 2 x [ 1 - 1 + 2 x ]  

∴ y ' = - 4 x . e - 2 x

Resposta

y ' = - 4 x . e - 2 x

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Calcule a derivada segunda. y = ln ⁡ x 2 + 1
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Calcule a derivada segunda. y = sen ⁡ cos ⁡ x