Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.3 - Ex. 16

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Derive.

y = x 2   s e n   x   t g   x

Passo 1

A questão pede para derivarmos a função dada. Vamos precisar da regra do produto e também lembrar a derivada das funções trigonométricas: ( s e n   x ) ' = c o s   x e ( t g   x ) ' = s e c 2 x .

Passo 2

Aplicando a regra do produto separando a parte trigonométrica:

y ' = ( x 2 ) '   s e n   x   t g   x   +   x 2   ( s e n   x   t g   x ) '

Vamos calcular o termo ( s e n   x   t g   x ) ' usando a regra do produto:

( s e n   x   t g   x ) ' = ( s e n   x ) '   t g   x   +   s e n   x   ( t g   x ) ' = c o s   x   t g   x   +   s e n   x   s e c 2 x

Por outro lado, como t g   x = s e n   x / c o s   x , temos que c o s   x   t g   x   =   s e n   x . Assim,

( s e n   x   t g   x ) ' = s e n   x   +   s e n   x   s e c 2 x = s e n   x   ( 1 + s e c 2 x )

Desta forma, como ( x 2 ) ' = 2 x , obtemos

y ' = 2 x   s e n   x   t g   x   +   x 2   s e n   x   ( 1 + s e c 2 x )

Resposta

y ' = 2 x   s e n   x   t g   x   +   x 2   s e n   x   ( 1 + s e c 2 x )

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