Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int sqrt(c o t g x) c o s s e c^2 x d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int sqrt(c o t g x) c o s s e c^2 x d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

Se u = c o t g x , então d u = - c o s s e c^2 x d x . Assim, a integral fica:

u = c o t g x

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

(d u)/(d x) = - c o s s e c^2 x -> d x = - (1)/(c o s s e c^2 x) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int sqrt(c o t g x) c o s s e c^2 x d x = int sqrt(u) c o s s e c^2 x (- (1)/(c o s s e c^2 x) d u)

- int sqrt(u) d u = - int u^((1)/(2)) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora resolvemos a integral:

- int u^((1)/(2)) d u

Fazendo a integral:

- int u^((1)/(2)) d u = - (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C

Passo 3

Voltando a variável original:

= - (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C = (2)/(3) (c o t g x)^((3)/(2)) + C

= (2 root(2)(c o t g x^3))/(3) + C

Então:

int sqrt(c o t g x) c o s s e c^2 x d x = - (2)/(3) sqrt((c o t g x)^3) + C

Resposta

int sqrt(c o t g x) c o s s e c^2 x d x = - (2)/(3) sqrt((c o t g x)^3) + C

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