Enunciado

Derive a função.

g ( t ) = 1 + ln ⁡ t

Passo 1

Oi meus lindos, bora??

O enunciado pede para derivar a função g ( t ) = 1 + ln ⁡ t

O que significa encontrar a taxa de variação instantânea da função em relação à variável t .

Para resolver isso, vamos utilizar a regra da cadeia e a regra da derivada de funções compostas.

Regra da Derivada da Função Composta (ou Regra da Cadeia): a regra nos diz como encontrar a derivada de uma função composta, onde uma função é aplicada a outra.

Para uma função y = f g x a derivada d y / d x é dada por:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Onde u é uma função intermediária.

Derivada da Função Interna: Neste caso, a função interna é 1 + ln ⁡ ( t ) .

Para derivar essa função, usaremos a regra da derivada da função logarítmica e da soma.

Derivada da Função Externa: A função externa é a raiz quadrada. Para derivar a função raiz quadrada, usaremos a regra da derivada da função raiz.

Combinando essas regras, podemos derivar a função g ( t ) em relação a t , encontrando sua taxa de variação instantânea em relação ao tempo.

Passo 2

Sendo assim, vamos chamar nossa função 1 + ln ⁡ t de u . Fica assim:

1 + ln ⁡ t = u

E depois, precisamos encontrar a sua derivada:

d u d t = d d t 1 + ln ⁡ t

d u d t = 1 t

Então, sabendo a derivada de l n ⁡ ( u ) , podemos aplicar a regra da cadeia:

d d u u = 1 2 u

Substituindo u e d u / d x , temos:

g ' ( t ) = 1 2 1 + ln ⁡ t 1 t

g ' t = 1 2 t 1 + ln ⁡ t

Resposta

g ' t = 1 2 t 1 + ln ⁡ t

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Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 2 )S e x y = 10 e d x d t = - 5 ,a c h e d y d t .
Nos Exercícios de 1 a 8, x e y são funções de uma terceira variável t. 4 )S e2 . s e nx + 4 . cos ⁡ y = 3 e d y d t = 3 ,a c h e d x d t e m( π 6 , π 3 ) .
Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. f x = x 2 + 1
Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada. F x = x 2 x - 5 x