Enunciado

Diferencie a função:

y = l n ⁡ ( cossec ⁡ x - cotg ⁡ ( x ) )

Passo 1

Fala, galera! Beleza?

Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar a função:

y = l n ⁡ ( cossec ⁡ x - cotg ⁡ ( x ) )

Observe que nós temos uma função composta, que tem uma subtração de funções trigonométricas dentro dela. Isso significa que vamos ter usar a regra da cadeia na derivação, lembra dela? A regra da cadeia é dada por:

f g x ' = f ' g x · g ' ( x )

Observe que nós derivamos a função de fora, aplicada na função de dentro, e multiplicamos pela derivada da função de dentro.

Lembrando que temos algumas derivadas tabeladas, como:

ln ⁡ x = 1 x · x '

cossec ⁡ x ' = - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

cotg ⁡ x ' = - cossec 2 ⁡ ( x )

Beleza? Vamos lá!!

Passo 2

Vamos aplicar a derivada na nossa função:

y ' = d d x ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x

Agora aplicando a regra da cadeia, vamos ter:

y ' = 1 cossec ⁡ x - cotg ⁡ x cossec ⁡ x - cotg ⁡ x '

E derivando a função de dentro, usando os resultados que vimos no passo 1 , temos:

y ' = 1 cossec ⁡ x - cotg ⁡ x ∙ - cossec ⁡ x cotg ⁡ x + cossec 2 ⁡ ( x )

Então, usando as identidades trigonométricas cossec ⁡ x = 1 sin ⁡ x e cotg ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x , vamos ter:

y ' = 1 cossec ⁡ x - cotg ⁡ x ∙ - 1 sin ⁡ x ∙ cos ⁡ x sin ⁡ x + 1 sin 2 ⁡ x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos simplificar o que encontramos...

Calculando o produto dos colchetes e fazendo o MMC:

y ' = 1 cossec ⁡ x - cotg ⁡ x ∙ 1 - cos ⁡ x sin 2 ⁡ x

Agora usando sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x , vamos ter:

y ' = 1 cossec ⁡ x - cotg ⁡ x ∙ 1 - cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x

Expandindo o produto notável e simplificando:

y ' = 1 cossec ⁡ x - cotg ⁡ x ∙ 1 - cos ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x ) ( 1 - cos ⁡ x )

y ' = 1 cossec ⁡ x - cotg ⁡ x ∙ 1 1 + cos ⁡ x

E colocando todo mundo no mesmo denominador, temos:

y ' = 1 ( cossec ⁡ x - cotg ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 1 ( cossec ⁡ x - cotg ⁡ x ) ( 1 + cos ⁡ x )

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