Enunciado

Derive a função:

y = e x 1 + x  

Passo 1

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A regra do quociente é utilizada quando temos uma função que é o quociente de duas funções diferentes. Para derivar essa função, aplicamos a fórmula:

d d x u x v x = u ' x v x - u x v ' x v x 2

Para nosso caso, pela função dada pelo exercício

y = e x 1 + x  

u x = e x     e     v x = 1 + x

então aplicamos a fórmula para encontrar a derivada.

A derivada da função exponencial natural f x = e x é simplesmente ela mesma, ou seja

d d x e x = e x

Estamos aplicando diretamente essa regra neste exercício, pois a função u x = e x é a função exponencial natural.

Passo 2

Vamos resolver o exercício passo a passo, encontrando a derivada da função y = e x 1 + x  

Identificamos duas funções na expressão dada:

- u x = e x

- v x = 1 + x

Após identificar iremos calcular as derivadas das funções u x e   v ( x ) :

- Derivada de u x = e x

d d x e x = e x

- Derivada de v x = 1 + x

d d x 1 + x = 1

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função y = e x 1 + x

d y d x = u ' x v x - u x v ' x v x 2

Substituímos as derivadas das funções u ( x )   e   v ( x ) na fórmula da regra do quociente:

d y d x = e x 1 + x - e x 1 1 + x 2

Simplificamos a expressão resultante:

d y d x = e x + x e x - e x 1 + x 2

d y d x = x e x 1 + x 2

Portanto, a derivada da função y = e x 1 + x em relação a x é x e x 1 + x 2 .

Resposta

y ' = x e x 1 + x 2

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