Calcule a integral

∫ tan 3 ⁡ x s e c ⁡ ( x )   d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

∫ tan 3 ⁡ x s e c ⁡ ( x )   d x = ∫ tan 2 ⁡ x s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) d x

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x )

Então, substituindo

∫ tan 2 ⁡ x s e c ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 s e c ⁡ ( x )   t a n ⁡ ( x )

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = s e c ⁡ ( x ) , então d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x , então, substituindo

∫ sec 2 ⁡ x - 1 s e c ⁡ ( x )   t a n ⁡ ( x ) = ∫ u 2 - 1 d u

∫ u 2 - 1 d u = 1 3 u 3 - u + c = 1 3 sec 3 ⁡ x - sec ⁡ x + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ tan 3 ⁡ x s e c ⁡ ( x )   d x = 1 3 sec 3 ⁡ x - sec ⁡ x + c

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