Enunciado

Derive a função.

y = ln ⁡ | cos ⁡ ( ln ⁡ x ) |

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função y = ln ⁡ | cos ⁡ ( ln ⁡ x ) | . Repare que nós temos uma função ln ⁡ x dentro da função cosseno e tudo isso dentro de outra função logarítmica.

Quando isso acontece, dizemos que temos uma função composta. E para derivar uma função composta, precisamos usar a Regra da Cadeia. Lembra dela?

A regra da Cadeia fala pra gente derivar uma expressão composta fazendo a derivada da função de fora, aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro. Assim:

d d x f g x = f ' g x ∙ g ' ( x )

Sacou? No nosso caso, f é o logaritmo natural do lado de fora e g ( x ) é outra função composta, cos ⁡ ( ln ⁡ x ) , então aplicamos a regra mais uma vez nela.

Vamos lá!

Passo 2

Já vimos que vamos precisar aplicar a regra da cadeia duas vezes. Assim:

y ' = d d x ln ⁡ | cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) |   d d x cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) ⋅ d d x ln ⁡ x

Então, vamos começar derivando o ln do lado de fora:

y ' = 1 cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) ⋅ d d x cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) ⋅ d d x ln ⁡ x

Agora vamos derivar a função de dentro do ln, que é o cosseno, e vamos obter:

y ' = 1 cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) ( - sen ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) ) ⋅ d d x ln ⁡ x

E por fim, calculamos a derivada do ln na função mais interna:

y ' = 1 cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) ( - sen ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) ) 1 x

Organizando a expressão, temos:

y ' = - sen ⁡ ( ln ⁡ x ) cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) 1 x  

E pela identidade sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) = tan ⁡ ( x ) , vamos ter:

y ' = - tan ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- tan ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) x

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