Calcule a integral.

∫ x 3 - x 4   d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f x = x 3 - x 4 , usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

Nesse formato, a função fica meio difícil de integrar, concorda? Então, vamos tentar aplicar uma substituição que facilite a nossa vida na hora de integrar. Pra isso, vamos usar:

u = x 2

Dessa forma, derivando teremos a diferencial:

d u = 2 x   d x

Então, bora lá substituir tudo na integral e calcular.

Passo 2

Fazendo u = x 2 , de modo que d u = 2 x   d x , teremos:

∫ x 3 - x 4   d x = 1 2 ∫ 1 3 - u 2 d u

Ainda tá meio complicado, né? Então, agora vamos fazer u = 3   t ⇒ d u = 3   d t . Assim, vamos ter:

1 2 ∫ 1 3 - u 2 d u = 3 2 ∫ 1 1 - t 2 d t

Desta forma, temos uma integral tabelada, que nos fornece o valor:

= 3 2 arcsin ⁡ t + C

Onde C é uma constante de integração.

Passo 3

Agora só falta a gente voltar a nossa variável original. Mas antes precisamos voltar à variável u , usando u = 3   t :

3 2 arcsin ⁡ u 3 + C

Por fim, vamos voltar à variável x , usando a substituição que definimos no primeiro passo ( u = x 2 ). E teremos:

∫ x 3 - x 4   d x = 3 2 arcsin ⁡ x 2 3 + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 2 arcsin ⁡ x 2 3 + C

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