Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.6 - Ex. 22

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desse livro

Derive a função:

y = log 2 ⁡ e - x cos ⁡ π x

Passo 1

Faaalaa comigoo BB... Vamos ver como que podemos derivar essa criança aí de cima. Vem comigo!

Seguinte, vamos de regra da cadeia, olha só:

Sabemos que:

d log a ⁡ x d x = 1 x ln ⁡ a

Belezura, então vamos começar exatamente derivando o nosso logaritmo:

d log 2 ⁡ e - x cos ⁡ π x d x = 1 e - x cos ⁡ π x ln ⁡ 2

Passo 2

Agora depois de derivar o logaritmo, podemos “esquecer” o log e olhar só para o que ta dentro:

d e - x cos ⁡ π x d x

Reparou que teremos que aplicar a regrinha do produto?!Lembra como que essa danada é:

“Deriva o primeiro mantém o segundo + deriva o segundo e mantém o primeiro”

Vamos devagarinho; derivando o primeiro e mantendo o segundo:

Lembra que:

d e x d x = e x

Então teremos:

- e - x cos ⁡ π x

E agora derivando o segundo e mantendo o primeiro:

A derivada do cosseno é quem mesmo?? Só pode ser o seno eles gostam muito um do outro:

d cos ⁡ π x d x = - sin ⁡ π x   .   π

Lembra? A gente deriva o seno e depois o que ta dentro, e como π é constante sobra ele pra gente.

Então teremos:

- π e - x sin ⁡ π x

Tá comigo?? No final das contas:

d e - x cos ⁡ π x d x = - e - x cos ⁡ π x - π e - x sin ⁡ π x

Podemos dar uma organizadinha né:

d e - x cos ⁡ π x d x = - e - x cos ⁡ π x + π sin ⁡ π x

Passo 3

Maaaas não podemos esquecer o nosso log lá de trás:

d y d x = - e - x cos ⁡ π x + π sin ⁡ π x e - x cos ⁡ π x ln ⁡ 2   .  

Podemos dar uma simplificadinha:

d y d x = - cos ⁡ π x + π sin ⁡ π x ln ⁡ 2   cos ⁡ π x

E isso é tudo!! Arrebenta!!

Resposta

Concluindo:

d y d x = - cos ⁡ π x + π sin ⁡ π x ln ⁡ 2   cos ⁡ π x

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