Derive a função

f(x) = log_2(e^(-x) \* cos(pi \* x))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f ( x ) = log 2 ⁡ ( e - x cos ⁡ π x )

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Também precisaremos da Regra da Potência onde temos que se:

f x = x n

Onde n é uma constante.

Então:

f ' x = n x n - 1

Também vamos precisar da regra do produto, onde:

u v ' = u ' v + u v '

Mas antes de tudo, temos que simplificar um pouco a nossa função para aplicarmos essas regrinhas.

Passo 2

Temos a seguinte propriedade dos logaritmos:

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Assim, aplicando na nossa função, temos:

f x = log 2 ⁡ ( e - x cos ⁡ π x ) = ln ⁡ e - x cos ⁡ π x ln ⁡ 2

Aplicando a derivada, temos:

f ' x = d d x ln ⁡ e - x cos ⁡ π x ln ⁡ 2

Retirando a constante para fora da derivada, temos:

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * d d x ln ⁡ e - x cos ⁡ π x

Agora sim podemos aplicar as regrinhas! 😉

Passo 3

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo u = e - x cos ⁡ π x , temos:

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * d d u ln ⁡ u d d x e - x cos ⁡ π x ∴

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * 1 u * d d x e - x cos ⁡ π x ∴

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * 1 e - x cos ⁡ π x * d d x e - x cos ⁡ π x

Passo 4

Resolvendo a derivada que nos restou, aplicando a Regra do Produto, temos:

d d x e - x cos ⁡ π x = cos ⁡ π x d d x e - x + e - x d d x cos ⁡ π x

Aplicando a regra da cadeia em cada derivada, temos:

d d x e - x cos ⁡ π x = cos ⁡ π x - e - x + e - x - π sin ⁡ π x ∴ ∴

d d x e - x cos ⁡ π x = - cos ⁡ π x e - x - e - x π sin ⁡ π x ∴

d d x e - x cos ⁡ π x = e - x - cos ⁡ π x - π sin ⁡ π x

Passo 5

Aplicando em f ' x :

f ' x = 1 ln ⁡ 2 * 1 e - x cos ⁡ π x * e - x - cos ⁡ π x - π sin ⁡ π x ∴

f ' x = - cos ⁡ π x + π sin ⁡ π x ln ⁡ 2 cos ⁡ ( π x )

Resposta

f ' x = - cos ⁡ π x + π sin ⁡ π x ln ⁡ 2 cos ⁡ ( π x )

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