Calcule a integral indefinida.

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Bem... aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa!!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um cos ⁡ t e um sen ⁡ t , podemos então usar a mudança de variável:

u = cos ⁡ t

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - sen ⁡ t   d t → sen ⁡ t   d t = - d u

Vamos agora fazer a substuição:

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = ∫ - e u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ e x d x = e x + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Agora é só aplicar:

∫ - e u d u = - 1 ∫ e u d u = - e u + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = cos ⁡ t :

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = ∫ - e u d u ∴

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - e u + C ∴

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - e cos ⁡ t + C

Resposta

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - e cos ⁡ t + C

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