Enunciado

Encontre y ' ' por derivação implícita.

sqrt(x) + sqrt(y) = 1

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte expressão:

sqrt(x) + sqrt(y) = 1

Nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de segunda ordem de y utilizando derivação implícita.

Tá... já sabemos que precisaremos derivar duas vezes... mas o que é essa derivação implícita??

Bom... seja uma equação implícita geral de duas variáveis, F ( x , y ) = 0 , onde y é uma função de x .

Para encontrarmos a derivada dessa expressão, precisamos derivar os dois lados da equação e, em seguida, devemos aplicar a regra da cadeia:

(d)/(d x) F (x , y) = (d)/(d x) 0 :.

(d F)/(d x) + (d F)/(d y) (d y)/(d x) = 0

Com isso é só a gente isolar o (d y)/(d x) que descobriremos a derivada da nossa função!! Entendeu?

Agora bora lá aplicar!! 😉

Mas antes, vamos precisar da regra da potência para derivar a nossa função.

A regra da potência diz que se uma função é da forma f (x) = x^n , então, sua derivada é f^' (x) = n x^(n - 1) .

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar os dois lados da equação em relação a x :

sqrt(x) + sqrt(y) = 1 :.

(1)/(2 sqrt(x)) + (1)/(2 sqrt(y)) y^' = 0

Veja que ao diferenciar y , multiplicamos pela sua derivada y ' . Isso ocorre devido a regra da cadeia.

Vamos agora isolar y ' :

(1)/(2 sqrt(x)) + (1)/(2 sqrt(y)) y^' = 0 :.

y^' = - (2 sqrt(y))/(2 sqrt(x)) :.

y^' = - (sqrt(y))/(sqrt(x))

Passo 3

Agora, iremos derivar novamente os dois lados da equação em relação a x , utilizando a regra do quociente:

y^(' ') = - (sqrt(x) (1)/(2 sqrt(y)) y^' - sqrt(y) (1)/(2 sqrt(x)))/(x)

Como y^' = - (sqrt(y))/(sqrt(x)) , iremos substituir na equação:

y^(' ') = - ((- sqrt(x) sqrt(y))/(2 sqrt(y) sqrt(x)) - (sqrt(y))/(2 sqrt(x)))/(x) :.

y^(' ') = ((1)/(2) + (sqrt(y))/(2 sqrt(x)))/(x) :.

y^(' ') = (sqrt(x) + sqrt(y))/(2 x sqrt(x))

Nosso enunciado nos diz que:

sqrt(x) + sqrt(y) = 1

Então, substituindo em y ' ' :

y^(' ') = (1)/(2 x sqrt(x))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^(' ') = (1)/(2 x sqrt(x))

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