Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = 2 + cos x , f (0) = - 1 , f (pi // 2) = 0

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ') ( x ) . Para isso, utilizaremos as regras de derivação de funções trigonométricas, ficando com

f^(' ') (x) = 2 + cos x

f^' (x) = 2 x + s e n x + C

Derivando f ' ( x ) , temos

f^(' ') (x) = 2 + cos x

Dessa forma, f^' ( x ) é a antiderivada de f^(' ') ( x ) .

Encontrando agora a antiderivada de f^' ( x ) , temos

f^' (x) = 2 x + s e n x + C

f (x) = (2)/(2) x^2 - cos x + C x + D = x^2 - cos x + C x + D

Derivando f ( x ) , temos

f^' (x) = 2 x + s e n x + C

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f^' ( x ) .

Passo 3

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f (0) = - 1 , temos

f (x) = x^2 - cos x + C x + D

f (0) = 0^2 - cos 0 + C (0) + D

D = 0

Aplicando f (pi // 2) = 0 , temos

f (x) = x^2 - cos x + C x

f (pi // 2) = ( pi // 2 )^2 - cos pi // 2 + C ( pi // 2 )

D = - pi // 2

Resposta

f (x) = x^2 - cos x - (pi)/(2) x

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