Enunciado

Derive a função.

f ( x ) = log 10 ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Beleza?

Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função:

f ( x ) = log 10 ⁡ x

Observe que essa é uma função composta. Isso significa que vamos precisar aplicar a regra da cadeia na derivação, lembra dela?

A regra da cadeia nos diz que quando temos uma função composta, precisamos derivar a função de fora, aplicada na função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro, ou seja:

f g x ' = f ' g x · g ' x

No nosso caso, g x = x e a função mais externa é o logaritmo na base 10 , onde iremos aplicar a regra do log na derivada:

d d x log a ⁡ x = 1 x ln ⁡ ( a )

Nesse caso a = 10 , beleza? Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada na nossa função:

f ' x = d d x log 10 ⁡ x

Assim, usando a regra da cadeia e a regrinha de derivação do log, que vimos no passo 1 , temos:

f ' x = 1 x ln ⁡ ( 10 ) · x '

f ' x = 1 x ln ⁡ ( 10 ) · x 1 / 2 '

Agora derivando x 1 / 2 de acordo com a regra da potência ( d d x x n = n x n - 1 ), vamos ter:

f ' x = 1 x 1 / 2 ln ⁡ 10 · 1 2 x 1 2 - 1

f ' x = 1 x 1 / 2 ln ⁡ 10 · 1 2 x - 1 2

E simplificando as potências de bases iguais, no caso, x , temos:

f ' x = 1 x ln ⁡ 10 · 1 2

Como o 2 da multiplicando o ln, a gente pode usar as propriedades de logaritmo para escrever ele na forma de potência:

f ' x = 1 ln ⁡ 10 2 x  

Assim, temos:

f ' x = 1 x ln ⁡ 100  

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' x = 1 x ln ⁡ 100  

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