Enunciado

Uma partícula se move com s = f t ,   t ≥ 0 :

f t = t 3 - 8 t 2 + 24 t

  1. Encontre a velocidade no instante t
  2. Qual a velocidade depois de 3 s
  3. Quando a partícula está em repouso?
  4. Quando a partícula está se movendo no sentido positivo?
  5. Encontre a distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos
  6. Desenhe um diagrama como na figura 2 para ilustrar o movimento da partícula
  7. Encontre a aceleração no instante t e depois de 3 s
  8. Faça os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 8
  9. Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função posição de uma partícula

f t = t 3 - 8 t 2 + 24 t

E nosso objetivo é a partir dela encontrar uma série de coisas: A função velocidade, a velocidade em t = 3 s , quando a partícula está em repolso, quando o movimento da partícula é positivo, a distancia percorrida no intervalo de 8 s , encontrar a função aceleração, esboçar os gráficos da posição, velocidade e aceleração, encontrar a aceleração em t = 3 s e por fim determinar o intervalo de tempo quando a partícula está acelerando e quando a partícula está freiando.

É muita coisa, não é?

Bom... para resolver esse problema temos que lembrar dos princípios físicos que diz que a velocidade é a variação da posição sobre a variação no tempo

v = ∆ s ∆ t

E a aceleração é a variação da velocidade sobre a variação do tempo.

a = ∆ v ∆ t

Trazendo isso para a nossa realidade, taxa de variação é a mesma coisa que derivada em um função, ou seja

v = d s d t ,     a = d v d t

Então derivando a função f vamos obter a função velocidade e derivando a função velocidade, vamos obter a função aceleração...

Veja só!

Passo 2

Se s = f t = t 3 - 8 t 2 + 24 t , então

v = d t 3 - 8 t 2 + 24 t d t

Pela regra da potência

v t = 3 t 3 - 1 - 2 8 t 2 - 1 + 24 t 1 - 1

v t = 3 t 2 - 16 t + 24

Show? A partir dessa função podemos responder os quatro primeiros quesitos do problema...

Veja só!

Passo 3

No item a) é pedido a velocidade em função do tempo t .

Isso é justamente o que fizemos no passo 2, ou seja

v t = 3 t 2 - 16 t + 24

No item b) é pedido a velocidade em t = 3 s , então substituímos t = 3 em v t e encontramos o resultado.

v 3 = 3 3 2 - 16 3 + 24

v 3 = 3   m / s

No item c) temos que descobrir quando a partícula está em repouso...

Pensando fisicamente, se uma partícula está em repolso, significa que ela está parada, logo, sua velocidade é nula.

Isso acontece quando v t = 0 , ou seja

v t = 3 t 2 - 16 t + 24 = 0

Nesse caso, não existe valores de t que satisfazem essa igualdade, então a partícula nunca está em repouso.

Já no item d) queremos saber quando a partícula está se movendo no sentido positivo, ou seja, quando v t > 0

3 t 2 - 16 t + 24 > 0

Essa função é sempre positiva, então a partícula está se movendo no sentido positivo em todos os instantes.

Tranquilo até aqui?

Passo 4

No item e) queremos saber qual a distancia percorrida nos primeiros 8 segundos...

Pra isso vamos usar a função f t e substituímos t = 8 s

f t = t 3 - 8 t 2 + 24 t → f 8 = 8 3 - 8 8 2 + 24 8

f 8 = 192 m

Bora continuar!

Passo 5

No item f) queremos ilustrar um gráfico que represente o movimento da matricula...

Vimos que o movimento é positivo, então s é crescente.

Em t = 8 s , s = 192 m

Com isso já sabemos de duas informações importantes, agora vamos determinar mais alguns pontos da nossa curva...

Em t = 1 .

f 1 = 1 3 - 8 1 2 + 24 1 = 17 m

Em t = 2 s .

f 2 = 2 3 - 8 2 2 + 24 2 = 24 m

Em t = 3 s .

f 3 = 3 3 - 8 3 2 + 24 3 = 27 m

Em t = 4 s

f 4 = 4 3 - 8 4 2 + 24 4 = 32 m

Com essas informações, podemos esboçar o diagrama como

Bacana, não é?

Passo 6

No item g) queremos encontrar a função aceleração e a aceleração em t = 3 s .

Como vimos no passo 1.

a = d v d t

Se v t = 3 t 2 - 16 t + 24 , então

a t = d 3 t 2 - 16 t + 24 d t

Pela regra da potência...

a t = 2 3 t 2 - 1 - 16 t 1 - 1 + 24 0

a t = 6 t - 16

Substituindo t = 3 s , temos que a aceleração nesse instante é

a 3 = 6 3 - 16

a 3 = 2 m / s 2

Estamos quase no fim!

Passo 7

No item h), o problema pediu pra plotar os gráficos de f t , v t e a t usando uma ferramenta gráfica...

Em verde temos f t , em azul v t e em vermelho a t

Show de bola?

Passo 8

Por fim, no item i) queremos determinar os intervalos em que a é positivo e negativo.

Se a t = 6 t - 16 , a será positivo se

a t = 6 t - 16 > 0

t > 8 3 s

A aceleração é positiva quando t > 8 3 s e é negativa quando 0 s < t < 8 3 s .

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

a) v t = 3 t 2 - 16 t + 24

b) v 3 = 3   m / s

c) não existe

d) todos os instantes

e) f 8 = 192 m

f)

g) a t = 6 t - 16 , a 3 = 2 m / s 2

h)

i) 0 s < t < 8 3 s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula é m = m 0 1 - v 2 c 2 Em que m 0 é a massa de repouso da partícula, m é a massa quando a partícula se move com velocidade v em relação ao observador
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.y = (ln x)/(x^2)
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.y = x e^(- x^2)
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.y = (e^x)/(x)
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.y = ln ( s e n x )^2