Enunciado

Ache f^' (1) :

y = l n ( x + ln (x) )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a primeira derivada da função y = l n ( x + ln (x) ) no ponto x = 1 , ou seja, f^' ( 1 ) .

Observe que nós temos uma função composta. Isso significa que vamos ter que usar a regra da cadeia na derivação. Lembra dela? A regra da cadeia é dada por:

[f (g (x))]^' = f^' (g (x)) * g^' ( x )

Então, nós derivamos a função de fora, aplicada na função de dentro, e multiplicamos pela derivada da função de dentro.

Lembrando que a derivada de ln x é igual a (1)/(x) , beleza? Vamos lá!!

Passo 2

Vamos começar derivando aplicando a regra da cadeia na nossa função:

y^' = (1)/(x + ln (x)) (x + ln (x))^'

Agora derivando a função de dentro, vamos ter:

y^' = (1)/(x + ln (x)) (1 + (1)/(x))

Aplicando a distributiva no produto:

y^' = ((1)/(x + ln (x)) + (1)/(x ( x + ln (x) )))

E colocando todo mundo no mesmo denominador, temos:

y^' = (x + 1)/(x ( x + ln (x) ))

Passo 3

Agora vamos substituir x = 1 em y^' para obter f^' ( 1 ) :

f^' (1) = (1 + 1)/(1 * ( 1 + ln (1) ))

E como ln ( 1 ) = 0 , temos:

f^' (1) = (2)/(1 + 0)

f^' ( 1 ) = 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f^' (1) = 2

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