Enunciado

Derive a função.

F t = ln ⁡ t 2 sin ⁡ t

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar a função:

F t = ln ⁡ t 2 sin ⁡ t

Observe que nós temos um produto entre funções. E podemos pensar nelas como:

f t = ln ⁡ t 2

E

g t = sin ⁡ t

E a função se torna:

F t = f t ⋅ g t

Além disso, a função ln ⁡ t 2 é composta. Isso significa que vamos ter usar a regra do produto junto com a regra da cadeia na derivação, que são dadas respectivamente por:

f g ' = f ' g + f g '

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Lembrando que a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 x e que a derivada do seno de alguma coisa é o cosseno dessa mesma coisa. Então, vamos lá!!

Passo 2

Para aplicar a regra do produto precisaremos das funções f , g e de suas derivadas.

Vamos fazer uma de cada vez.

f t = ln ⁡ t 2

Aqui temos uma função composta que pode ser vista com:

f g t = g t 2

E sua derivada é dada por:

f g t ' = f ' g t ⋅ g ' t

Ou seja, a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro. Assim,

f ' t =   2 ln ⁡ t ⋅ ln ⁡ t '

f ' t =   2 ln ⁡ t ⋅ 1 t

Que pode ser escrita como:

f ' t = 2 ln ⁡ t t

Maravilha.

Passo 3

Agora também precisamos da f derivada da função g t .

g t = sin ⁡ t

E a derivada do seno é o cosseno. Assim:

g ' t = cos ⁡ t

Já temos tudo que precisamos.

Passo 4

Agora basta substituir na fórmula da regra do produto. Sendo:

F t = f t ⋅ g t

F ' t = f ' g + f g '

Então

F ' t = 2 ln ⁡ t 1 t ⋅ sin ⁡ t + ln ⁡ t 2 ⋅ cos ⁡ t

Resolvendo esses produtos, obtemos:

F ' t = 2 ln ⁡ t sin ⁡ t t + ln 2 ⁡ t cos ⁡ t

Prontinho!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

F ' t = 2 ln ⁡ t sin ⁡ t t + ln 2 ⁡ t cos ⁡ t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 12, ache a derivada da função dada8) g x = s e n x 2
Nos exercícios de 1 a 12, ache a derivada da função dada11) h t =1 3 s e c 3 2 t - s e c 2 t
Nos exercícios de 1 a 12, ache a derivada da função dada3) F x = ( x 2 + 4 x - 5 ) 4
Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada14) d d t ( 2s e n 3 tc o s 2 t )
Nos exercícios de 1 a 12, ache a derivada da função dada f x = ( 2 x + 1 ) 3