Enunciado

Derive a função.

f ( x ) = ln ⁡ x e - 2 x

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada da função dada.

f ( x ) = ln ⁡ x e - 2 x

Para resolvermos, precisamos utilizar a regra da cadeia, que é dada por:

d d x f u = d d u f u d d x u

E a regra do produto que é dada por:

f g ' x = f ' x g x + f x g ' x

Passo 2

Sendo assim, vamos chamar nossa função x e - 2 x de u . Fica assim:

x e - 2 x = u

Pela regra da cadeia temos que:

d d x ln ⁡ x e - 2 x = d d u ln ⁡ u d d x u

Portanto, precisamos encontrar a sua derivada:

d u d x = d d x x e - 2 x

Aplicando a regra do produto, temos que:

d d x x e - 2 x = x ' e - 2 x + x e - 2 x '

E vamos aqui precisar de uma regra da cadeia rapidex para encontrar a derivada de e - 2 x .

v = - 2 x

d d x e - 2 x = d e v d v ⋅ d v d x = e v d v d x

Onde

d v d x = d d x - 2 ) x = - 2

Portanto,

d d x e - 2 x = e v - 2 = - 2 e - 2 x

Substituindo na expressão da regra do produto, temos:

d u d x = 1 e - 2 x - 2 x e - 2 x

d u d x = e - 2 x 1 - 2 x

Passo 3

Então, sabendo a derivada de l n ⁡ ( u ) , podemos voltar a primeira regra da cadeia:

d d x ln ⁡ x e - 2 x = d d u ln ⁡ u d d x u

d d u ( ln ⁡ u ) = 1 u

Substituindo tudo:

d d x ln ⁡ x e - 2 x = 1 u ⋅ e - 2 x 1 - 2 x

= 1 x e - 2 x ⋅ e - 2 x 1 - 2 x

Portanto,

d d x ln ⁡ x e - 2 x = 1 - 2 x x

E organizando ficamos com a seguinte derivada.

f ' x = 1 x - 2

Resposta

f ' x = 1 x - 2

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