Enunciado

Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

14) d d t ( 2   s e n 3 t   c o s 2 t )

Passo 1

Se a gente olhar muito bem pra essa função:

h t = 2   s e n 3 t   c o s 2 t

A gente consegue ver que ela é um produto de funções! Show, então para resolvermos a derivada, vamos aplicar primeiro a regra do produto. Seja:

h t = f t   g t

Onde:

f t = 2   s e n 3 t

g t = c o s 2 t

Vamos ter a seguinte derivada:

h ' t = f ' t g t + f t g ' ( t )

Passo 2

Agora vamos aplicar a Regra da Cadeia para resolver a primeira derivada que precisamos, isso é, f ' t . Mãos a obra:

d d t 2 s e n 3 t

Fazendo a derivada da potência:

d d x 2 x 3 = 6 x 2

Substituímos x pelo que está dentro da potência, que é a função seno, e multiplicamos pela derivada dela:

d d t 2 s e n 3 t = 6 sen ⁡ t 2 d d t sen ⁡ t

E isso será:

f ' t = d d t 2 s e n 3 t = 6   s e n 2 t   c o s t

Passo 3

Beleza, agora vamos resolver a segunda derivada, que seria g ' t :

d d t c o s 2 t

Aplicamos a Regra da Cadeia e resolvemos a derivada da potência primeiro:

d d x x 2 = 2 x

Substituímos x pelo que está dentro da potência e multiplicamos pela derivada da função de dentro, que é o cosseno:

d d t c o s 2 t = 2 c o s t d d t c o s t

Resolvendo a derivada na conta de cima:

g ' t = d d t c o s 2 t = - 2 c o s t s e n t

Passo 4

Agora substituímos os dois resultados na regra do produto que aplicamos no início:

h ' t = f ' t g t + f t g ' ( t )

Seja:

f t = 2   s e n 3 t

f ' t = 6   s e n 2 t cos ⁡ t

g t = c o s 2 t

g ' t = - 2 c o s t s e n t

Ficamos com:

h ' t = 6   s e n 2 t   c o s t c o s 2 t + 2   s e n 3 t - 2 c o s t s e n t

h ' t = 6   s e n 2 t   c o s 3 t - 4   s e n 4 t   cos ⁡ t

Resposta

h ' t = 6   s e n 2 t   c o s 3 t - 4   s e n 4 t   cos ⁡ t

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