Enunciado

Encontre a diferencial:

(a) y = ln ⁡ s e n θ

(b) y = e x 1 - e x

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. A questão nos pede para encontrar a diferencial das funções:

y = ln ⁡ s e n θ

y = e x 1 - e x

Para isso, vamos usar que a diferencial é dada por:

d y = f ' x d x  

Dessa forma, precisamos encontrar a derivada dessas funções.

Vamos precisar aqui saber a derivada das seguintes funções:

Logaritmo natural

ln ⁡ x ' = 1 x

Seno

s e n x ' = c o s ⁡ ( x )

Exponencial

e x ' = e x

Constante

c ' = 0

E também vamos precisar saber usar a regra da cadeia para funções comopostas:

d f g x d x = d f g x d g x ⋅ d g x d x

Ou seja você vai derivando de fora para dentro...

E também usaremos a regra do quociente:

f g ' x = f ' x g x - f x g ' x g 2 x

Bora lá?

Passo 2

Vamos derivar a seguite função:

y = ln ⁡ s e n θ

Vamos usar a regra da cadeia:

y ' = d l n s e n θ d s e n θ ⋅ d s e n θ d θ

y ' = 1 s e n θ cos ⁡ θ

E o cosseno dividido pelo seno é o inverso da tangente que é a cotangente.

y ' = c o t g θ

Portanto, podemos dizer que:

d y = c o t g θ d θ

Passo 3

Agora, vamos derivar:

y = e x 1 - e x

Usando a regra do produto:

y ' = e x ' 1 - e x - e x 1 - e x ' 1 - e x 2

Derivando...

y ' = e x 1 - e x - e x ( 0 - e x ) 1 - e x 2

y ' = e x - e 2 x + e 2 x 1 - e x 2

y ' = e x 1 - e x 2

Portanto, podemos dizer que:

d y = e x 1 - e x 2 d x

Resposta

(a)

d y = e x 1 - e x 2 d x

(b)

d y = e x 1 - e x 2 d x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Aplique o método de Newton à equação 1 x - a = 0 para deduzir o seguinte algoritmo para os inversos: x n + 1 = 2 x n - a x 2 n (Esse algoritmo possibilita a um computador achar os inversos sem realmen
12) Encontre a diferencial da função:(a) y = (s)/(1 + 2 s) (b) y = e^(- u) cos u
11) Encontre a diferencial da função:(a) y = x^2 s e n (2 x) (b) y = ln sqrt(1 + t^2)
20) Calcule Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y . y = x , x = 1 , Δ x =
13) Encontre a diferencial da função:(a) y = (u + 1)/(u - 1) (b) y = (1 + r^3)^(- 2)