Enunciado

Derive.

y = x^2 s e n x t g x

Passo 1

Falaee, belezinha??? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = x^2 s e n x t g x

Para isso, a gente sabe que a derivada da potência, do seno e da tangente são dadas da seguinte forma, respectivamente:

(u^n)^' = n u^(n - 1)

(s e n u)^' = cos u

(t g u)^' = sec^2 u

Além disso, a gente vai precisar aplicar a regra do produto, que é dada por:

(u * v)^' = u v^' + u^' v

E aí?? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

Aplicando a regra do produto separando a parte trigonométrica:

y^' = (x^2)^' s e n x t g x + x^2 (s e n x t g x)^' :.

y^' = 2 x s e n x t g x + x^2 (s e n x t g x)^'

Eita... temos a derivada de outro produto ali!! Então teremos que aplicar a regra do produto novamente!!

Passo 3

Vamos calcular o termo ( s e n x t g x ) ' usando a regra do produto:

(s e n x t g x)^' = (s e n x)^' t g x + s e n x (t g x)^' :.

( s e n x t g x ) ' = c o s x t g x + s e n x s e c^2 x

Por outro lado, sabemos que:

t g x = (s e n x)/(c o s x) :.

s e n x = c o s x t g x

Dessa forma, temos:

(s e n x t g x)^' = s e n x + s e n x s e c^2 x :.

(s e n x t g x)^' = s e n x ( 1 + s e c^2 x )

Passo 4

Por fim, substituindo na equação do Passo 2, temos:

y^' = 2 x s e n x t g x + x^2 [s e n x (1 + s e c^2 x)] :.

y^' = x s e n x (2 t g x + x + x s e c^2 x)

Entendeu direitinho?? Responde aeee 😉

Resposta

y^' = x s e n x (2 t g x + x + x s e c^2 x)

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