Enunciado

3 – 26 Derive.

23. f x = x 2 e x x 2 + e x

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo certinho como vocês?

Bom, essa questão pede pra gente derivar a função

f x = x 2 e x x 2 + e x

E como ela é formada por uma fração, poderemos usar a regra do quociente para encontrar sua derivada.

Para isso, vamos entender a funçõa como sendo formada pela divisão de duas outras funções que chamaremos de u e v . Veja:

u = x 2 e x

v = x 2 + e x

E a função poderá ser entendida como:

f x = u v

Para esse caso a regra do quociente se torna:

f ' x = u ' v - v ' u v 2

Agora que já sabemos o que fazer. Vamos colocar a mão na massa.

Passo 2

Repara que para aplicar a regra do quociente precisaremos de u , v e suas derivadas u ' e v ' .

Então vamos encontra-las primeiro.

Vamos começar pela função:

u = x 2 e x

Opa!!!

Aqui temos uma função que é formada pela multiplicação de duas outras funções. Sendo:

g = x 2

E

h = e x

E para derivá-la teremos que usar a regra do produto, que é essa aqui:

u ' = g ' h + g h '

Assim,

g ' = 2 x

E

h ' = e x

E substituindo, ficamos com:

u ' = 2 x e x + x 2 e x

Perfeito!!!

Passo 3

Agora vamos atrás de v ' , sendo:

v = x 2 + e x

Sua derivada será:

v ' = 2 x + e x

Agora que já temos tudo que precisávamos, bastan substituir na fórmula da regra do quociente.

Passo 4

Lmebrando que

f ' x = u ' v - v ' u v 2

E que:

u = x 2 e x

u ' = 2 x e x + x 2 e x

v = x 2 + e x

v ' = 2 x + e x

Ficamos com:

f ' x = 2 x e x + x 2 e x x 2 + e x - x 2 e x 2 x + e x x 2 + e x 2

Multiplicando todos esses termos (com calma pra não se confundir):

f ' x = 2 x 3 e x + 2 x e 2 x + x 4 e x + x 2 e 2 x - 2 x 3 e x - x 2 e 2 x x 2 + e x 2

Tem quatro termo que se cancelam, então sobra:

f ' x = 2 x e 2 x + x 4 e x x 2 + e x 2

Que é nossa resposta. Prontinho!!!

Resposta

f ' x = 2 x e 2 x + x 4 e x x 2 + e x 2

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Calcule a derivadaV = (4)/(3) pi r ³ ³