Enunciado

Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.

  1. y = x 2 f x
  2. y = f ( x ) x 2
  3. y = x 2 f x
  4. y = 1 + x f ( x ) x

Passo 1

Falaii meus amores,

Estamos interessados em encontrar as derivadas de várias funções compostas envolvendo uma função f x .

As funções compostas são expressas de diferentes maneiras, como o produto de f ( x ) por uma função quadrática, a divisão de f ( x ) por uma função quadrática, a divisão de uma função quadrática por f ( x ) e assim por diante. Nos é dado que f ( x ) é derivável, o que significa que sua derivada f ' ( x ) existe em seu domínio.

Para entender as Funções Dadas, primeiro, precisamos entender cada uma das funções compostas dadas. Identificamos a função f ( x ) e a forma como ela é combinada com outras funções, seja multiplicando, dividindo ou outra combinação.

Para aplicar as Regras de Derivação, usaremos as regras básicas de derivação, como a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia, para encontrar a derivada de cada função composta. Vamos expressar a derivada em termos da derivada de f ( x ) que denotamos por f ' x .

Passo 2

  1. y = x 2 f ( x )

    Para derivar esta função usaremos a Regra da Derivada do Produto, que diz o seguinte:

    d d x u v = u v ' + u ' v

    Aplicando:

    y ' = 2 x f x + x 2 f ' ( x )

    Passo 3

  2. y = f x x 2

    Para derivar esta função usaremos a Regra da Derivada do Quociente, que diz o seguinte:

    d d x u v = v u ' - u v ' v 2

    Aplicando:

    y ' = f ' x x 2 - f x 2 x x 4

    y ' = f ' x x - f x 2 x 3

    Passo 4

  3. y = x 2 f ( x )

    Para derivar esta função usaremos a mesma regra do item " b " , assim:

    y ' = 2 x f x - x 2 f ' x f x 2

    Passo 5

y = 1 + x f x x = 1 + x f x x 1 2

Vamos chamar g x = x f ( x ) , então podemos escrever:

y = 1 + g x x 1 2

Para derivar y em relação a x deveremos usar a Regra do Quociente e, por consequência, estaremos derivando g ( x ) que, nesse caso, deveremos usar a Regra do Produto.

Então, teremos:

y ' = 0 + g ' x x 1 2 - 1 + g x 1 2 x - 1 2 x  

Sendo que g ' x = 1 f x + x f ' ( x ) .

Logo, substituindo g ' ( x ) e g ( x ) na expressão de y ' teremos:

y ' = f x + x f ' x x 1 2 - 1 + x f x 1 2 x - 1 2 x

= x 1 2 f x + x 3 2 f ' x - 1 2 x - 1 2 - x 1 2 f x x

= x 1 2 f ' x - ( 1 2 x - 3 2 )

Resposta

  1. y ' = 2 x f x + x 2 f ' ( x )
  2. y ' = f ' x x - f x 2 x 3
  3. y ' = 2 x f x - x 2 f ' x f x 2
  4. = x 1 2 f ' x - ( 1 2 x - 3 2 )
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