Enunciado

Descreva a mudança no gráfico de f à medida que c varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c no qual o aspecto básico da curva mude.

f x = x 4 + c x 2

Passo 1

c 0 ,   0 é o único ponto interceptado no eixo x . Quando c < 0 , o eixo x é interceptado em ± - c .

Já o eixo y é interceptado em 0 ,   para c ≥ 0 , pois f 0 = 0 . E quando c < 0 , o eixo y não é interceptado. Observamos também que a função é simétrica em relação ao eixo y por ser uma função par.

Para analisar os pontos de máximo e mínimo e de inflexão precisamos calcular as derivadas de f . Assim, temos que:

f ' x = 4 x 3 + 2 c x 2 x 4 + c x 2 = 2 x 3 + c x x 2 x 2 + c = x 2 x 2 + c x x 2 + c

Para x < 0 ⇒ f ' x =   - 2 x 2 + c x 2 + c

Para x > 0 ⇒ f ' x = 2 x 2 + c x 2 + c

Assim, verificamos que no ponto x = 0 é o qual a função recebe a maior nítida variação quando c   aumenta. Existe um mínimo absoluto em 0   para c ≥ 0 e não há outros máximos nem mínimos.

f ' ' x = x 4 2 x 2 + 3 c x 3 x 2 + c 3 2

Para f ' ' x = 0 ⇒ x = ± - 3 c 2   p a r a   c < 0

Assim, verificamos que a função tem concavidade para cima em - ∞ , - - 3 c 2 e - 3 c 2 , ∞ e concavidade para baixo em - - 3 c 2 , - - c   e   - c ,   - 3 c 2 .

Existem pontos de inflexão em ± - 3 c 2 , 3 c 2 4 . Quanto mais negativo c fica, mais o ponto de inflexão se aproxima da origem . O único valor de transição é c = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Fazer um esboço do gráfico de f , determinando:. Os extremos relativos de f ;. Os pontos de inflexão do gráfico de f ;. Os intervalos onde f é crescente e aqueles nos quais f é decrescente;. Onde o gr
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