Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = sec x + tan x , 0 < x < (pi)/(2)

Passo 1

Nós temos y = f (x) = sec x + tan x , 0 < x < (pi)/(2)

Passo 2

a . Nosso primeiro passo é calcular o domínio, que é dado como (0 , (pi)/(2)) .

b. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : não existe, pois 0 não está no domínio; intercepto x : nenhum, porque sec x e tan x são ambas positivas no domínio.

c. Não há simetria.

d. Há uma assíntota vertical:

underset(x -> ((pi)/(2))^-)(lim) f (x) = oo

x = (pi)/(2) é onde está a assíntota

Passo 3

e. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:

f^' (x) = sec x tan x + sec^2 x = sec x (tan x + sec x) > 0 em (0 , (pi)/(2)) .

Sendo assim, f cresce em (0 , (pi)/(2)) .

f. Como a função apenas cresce, não há valor extremo.

g. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

f^(' ') (x) = sec x (sec^2 x + sec x tan x) + (tan x + sec x) sec x tan x

= sec x (sec x + tan x) sec x + sec x (sec x + tan x) tan x

= sec x (sec x + tan x) (sec x + tan x) = sec x (sec x + tan x)^2 > 0 em (0 , (pi)/(2)) .

Assim, f é côncava para cima em (0 , (pi)/(2)) e não há ponto de inflexão.

Passo 4

h. Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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