Enunciado

Use um sistema de computação algébrica para fazer o gráfico de f e encontrar   f e f ' ' . Utilize os gráficos dessas derivadas para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

f x = 1 ( 1 + e tg ⁡ x )

Passo 1

Primeiro a gente usa um sistema de computação algébrico para calcular as derivadas, e a gente obtém os seguintes resultados:

f ' x = - e tg ⁡ x cos 2 ⁡ x 1 + e tg ⁡ x 2

f ' ' x = - e tg ⁡ x e tg ⁡ x 2 se n ⁡ x cos ⁡ x - 1 + 2 se n ⁡ x cos ⁡ x + 1 cos 4 ⁡ x 1 + e tg ⁡ x 3

Passo 2

Esboçando os gráficos de f , f ' e f ' ' :

Pelo gráfico, conseguimos ver que f é uma função periódica de período π , que tem valores possíveis através de seu domínio que consiste em todos os números reais, exceto múltiplos ímpares de π 2 , que são ± π 2 , ± 3 π 2 , ± 5 π 2 , e assim por diante. f tem um intercepto y que vale 1 2 , mas nenhum intercepto x . Nossos gráficos correspondem a apenas um período, - π 2 , π 2 .

Passo 3

Agora a gente finaliza analisando os gráficos!

Como f ' ( x ) é menor que zero para todo x no domínio de f (só ver que no gráfico f ' ta sempre abaixo do eixo x !), f é decrescente nos intervalos entre os múltiplos ímpares de π 2 .

f ' ' x = 0 para x = 0 + n π e para x ≈ ± 1.124 + n π , assim, f é côncava para baixo em ( - π 2 ,   - 1.124 ) , côncava para cima em ( - 1.124 ,   0 ) , côncava para baixo em ( 0 ,   1.124 ) , e côncava para cima em 1.124 , π 2 . Como f é uma função periódica, esse comportamento se repete em todo intervalo de comprimento π .

Agora pra analisar os pontos de inflexão, pegamos os pontos onde f ' ' cruza o eixo x e substituímos em f x para encontrar a coordenada y , portanto, há pontos em ( - 1.124 + n π ,   0.890 ) , n π , 1 2 , e em ( 1.124 + n π ,   0.110 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
Esboce o gráfico. y = x 2 + 2 x + 5
Esboce o gráfico. f ( x ) = x 2 x 2 - x - 2
Esboce o gráfico. y = x - 1 x 2