Enunciado

Descreva as várias abordagens para calcular integrais da forma

∫ sin m ⁡ x ⋅ cos n ⁡ x d x

Quais são os casos em que esses tipos de integrais se dividem? Quais são os procedimentos e as identidades usadas em cada caso?

Passo 1

Bom galera, a gente tem alguns casos para resolvermos nossa integral:

∫ sin m ⁡ x ⋅ cos n ⁡ x d x

Que são:

+ n   é   i m p a r

+ m   é   i m p a r

+ m   e   n   s ã o   p a r e s

Passo 2

Belezinha, primeiro quando n é impar, a gente separa um fator de cos ⁡ x usando a identidade:

cos 2 ⁡ x = 1 - sin 2 ⁡ x

E escrevemos a integral em termos de sin ⁡ x e então d u = cos ⁡ x d x , vou mostrar um exemplo:

∫ cos 3 ⁡ x d x = ∫ cos 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x d x

= ∫ 1 - sin 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

= ∫ 1 - u 2   d u

Onde: u = sin ⁡ x .

Passo 3

Agora para o caso de m ser impar, então nós separamos um fator de sin ⁡ x usando a identidade:

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

E escrevemos a integral em termos de cos ⁡ x , aí então substituimos u = cos ⁡ x e também d u = - sin ⁡ x   d x , formando uma integral polinomia, igual no exemplo do passo anterior.

Passo 4

Por fim, o último caso é quando m e n são pares, nesse caso a gente reduz as potências de sin ⁡ x e de cos ⁡ x , usando as identidades:

cos 2 ⁡ x = 1 2 1 + cos ⁡ 2 x

sin 2 ⁡ x = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x

E usamos normalmente tecnicas de integração para resolvermos.

Resposta

3   c a s o s   e   f o r m a s   d e   r e s o l v e r

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