Enunciado

Use um CAS para encontrar a massa e o centro de gravidade da lâmina dada de densidade δ .

A lâmina delimitada por y = e x , y = 0 , x = 0 e x = 1 ; δ = 1 e - 1 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar a massa pela expressão:

m = A δ

Já que a densidade δ é constante. E encontrar o centro de gravidade usando nossas fórmulinhas:

x - = 1 m   ∫ a b δ x ( f x - g x ) d x

y - = 1 m   ∫ a b δ 2 f x 2 - g x 2 d x

Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a área da nossa lâmina:

A região descrita por ela é limitada por cima pela função y = e x e por baixo pela função y = 0 . E ela está no intervalo [ 0,1 ] .

Podemos então dizer que a área pode ser achada pela integral:

A = ∫ 0 1 e x d x = e - 1

Então a massa é:

m = A δ = ( e - 1 ) ⋅ 1 e - 1 = 1

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centro de gravidade por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 m   ∫ a b δ x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = e x (por cima) e y = 0   (por baixo). E em x , entre 0 e 1 .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

x - = 1 1   ∫ 0 1 1 e - 1 x   e x d x

Usando um CAS para resolver a integral (a gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

x - = 1 ⋅ 1 e - 1 = 1 e - 1

Passo 4

Agora a coordenada y - . A gente pode usar essa fórmula aqui:

y - = 1 m   ∫ a b δ 2 f x 2 - g x 2 d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = e x (por cima) e y = 0   (por baixo). E em x , entre 0 e 1 .

Substituindo tudo, nossa integral fica:

y - = 1   ∫ 0 1 1 2 1 e - 1 e x 2 d x

Usando um CAS para resolver a integral (lembrando que gente vai usar aqui a calculadora CAS do Geogebra, que dá para acessar pelo navegador):

y -   = e + 1 4

Temos que o nosso centro de gravidade está no ponto:

x - ,   y - = 1 e - 1 , e + 1 4

Resposta

m = 1

x - ,   y - = 1 e - 1 , e + 1 4

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Seja f contínua em - a , a . Mostrar que:Se f é par, então ∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x .Se f é ímpar, então ∫ - a a f x d x = 0 .
Seja f contínua em - a , a . Mostrar que:Se f é par, então ∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f x d x .Se f é ímpar, então ∫ - a a f x d x = 0 .
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ 1 3 3 x 2 + 4 d x ≥ ∫ 1 3 2 x 2 + 5 d x
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade: ∫ - 2 - 1 d x x ≤ ∫ - 2 - 1 ( - 1 2 - x 4 ) d x
∫ - 1 2 x 1 + x 3 d x