Enunciado

Deseja-se construir um paralelepípedo-retângulo com área total de 100 c m 2 . Determirar as dimensões da caixa para o volume ser máximo.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Para uma caixa de lados a , b e c , maximize o volume V = a b c , sendo a área superficial constante”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Uma representação do problema nos ajudará a desenvolver melhor a solução:

Vemos que a área total é simplesmente dada por A = 2 a c + b c + a b .

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = a b c  

g = 2 a c + b c + a b - A

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, a área deve ser sempre A ).

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ a , ∂ f ∂ b , ∂ f ∂ c = b c , a c , a b

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ a , ∂ g ∂ b , ∂ g ∂ c = 2 b + 2 c , 2 a + 2 c , 2 a + 2 b

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

b c , a c , a b = λ 2 b + 2 c , 2 a + 2 c , 2 a + 2 b   2 a c + b c + a b - A = 0

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

b c = λ ( 2 b + 2 c ) a c = λ ( 2 a + 2 c ) a b = λ ( 2 a + 2 b )     2 a c + b c + a b = A

Sisteminha complicado! Vamos dividir a primeira equação pela segunda. O resultado é

b a = b + c a + c

O que implica de imediato que a = b .

Do mesmo modo, dividindo a terceira equação pela primeira, achamos

a c = a + b b + c

O que, tomando b = a , nos leva de imediato até c = a . Ou seja, todos os lados devem ter o mesmo valor, digamos a = b = c = L ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:

2 a c + b c + a b = 6 L 2 = A = 100 c m 2

Ou seja, temos que a caixa de maior volume será um cubo de lado igual a 10 6 c m !

Resposta

Cubo de lado 10 6 c m

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