Enunciado

Você construirá uma caixa retangular aberta a partir de 12 pés2 de material. Quais dimensões resultarão em uma caixa de máximo volume?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Seja x a altura da caixa, y a largura e z o comprimento. Tirando quadrados de lado x dos cantos do material, temos os seguinte diagrama:

Dessa forma, podemos dizer que o comprimento da caixa é:

z = 2 x + y

E a largura é:

y = 2 x + z

Como temos um total de 12 pes ² , logo o comprimento vezes a altura é igual a 12 também. Logo:

2 x + y 2 x + z = 12

Isolando z :

z = 2 ( 6 - 2 x 2 + x y ) 2 x + y

Passo 2

Para encontrarmos a área máxima, temos que, a partir da derivada segunda da função que determina a área, encontrarmos o máximo local. Para:

V x , y = 2 x y ( 6 - 2 x 2 + x y ) 2 x + y

Substituindo dentro dos pontos críticos:

( 3 , 0 ) , - 3 , 0 , 1 3 ,   4 3

Encontramos o local máximo para V 1 3 , 4 3 , 4 3 = 16 3 3

Logo, a área máxima:

A m a x = 16 3 3

Resposta

R e s p o s t a   n o s   p a s s o s

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Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados. T x ,y = x 2 + x y + y 2 - 6 x na placa retangular 0 ≤ x ≤ 5 , - 3 ≤ y ≤ 3 .
Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados. T x ,y = x 2 + x y + y 2 - 6 x + 2 na placa retangular 0 ≤ x ≤ 5 , - 3 ≤ y ≤ 0 .