Enunciado

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Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o plano tangente perto do ponto se tornem indistinguíveis.

z = x 2 + x y + 3 y 2             ( 1 ,   1 ,   5 )

Passo 1

Show de bola, galera. Antes de sairmos plotando os gráficos, precisamos calcular primeiro a equação do plano tangente à superfície no dado ponto.

Antes, vamos determinar o ponto x 0 , y 0 , z 0 :

x 0 , y 0 , z 0 = x 0 , y 0 , x 0 2 + x 0 y 0 + 3 y 0 2 ⏟ z 0 = 1 ,   1 ,   5

Se definirmos uma função f x , y = z , precisaremos calcular as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no ponto ( 1 ,   1 ,   5 ) :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + x y + 3 y 2 = 2 x + y →       N o   p o n t o   1 ,   1,5     ∂ f ∂ x ( 1 ,   1,5 ) = 3

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + x y + 3 y 2 = x + 6 y →       N o   p o n t o   ( 1 ,   1,5 )       ∂ f ∂ y ( 1 ,   1,5 ) = 7

Desta forma, temos a seguinte equação para o plano tangente:

z - 5 ⏟ z 0 = 3 ⏟ ∂ f ∂ x ∙ x - 1 ⏟ x 0 + 7 ⏟ ∂ f ∂ y ∙ y - 1 ⏟ y 0 ∴ z = 3 x + 7 y - 5

Passo 2

Seguindo a lógica do enunciado, chegamos nos seguintes gráficos:

E depois de muito zoom em cima do plano com a superfície:

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