Responde Aí

Enunciado

Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o plano tangente perto do ponto se tornem indistinguíveis.

f x , y = e - x / 10 x + y + x y ,               1,1 , 3 e - 0,1

Passo 1

Show de bola, galera. Antes de sairmos plotando os gráficos, precisamos calcular primeiro a equação do plano tangente no dado ponto.

Primeiro precisaremos calcular as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no ponto 1 , 1,3 e - 0,1 :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e - x 10 x + y + x y = e - x 10 2 1 x + y x y - x + y + x y 5

∂ f ∂ x →       N o   p o n t o   1,1 , 3 e - 0,1     ∂ f ∂ x 1,1 , 3 e - 0,1 = 0 , 633

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e - x 10 x + y + x y = e - x 10 2 1 y + x x y

∂ f ∂ y →       N o   p o n t o   1,1 , 3 e - 0,1       ∂ f ∂ y 1,1 , 3 e - 0,1 = 0 , 90 5

Desta forma, temos a seguinte equação para o plano tangente:

z - 3 e - 0,1 ⏟ z 0 = 0 , 633 ⏟ ∂ f ∂ x ∙ x - 1 ⏟ x 0 + 0 , 90 5 ⏟ ∂ f ∂ y ∙ y - 1 ⏟ y 0 ∴ z = 0 , 633 x + 0 , 90 5 y + 1 , 176

Passo 2

Seguindo a lógica do enunciado, chegamos nos seguintes gráficos:

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