Enunciado

Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu plano tangente.) Em seguida, dê zoom até que a superfície e o plano tangente perto do ponto se tornem indistinguíveis.

f x , y = e - x / 10 x + y + x y ,               1,1 , 3 e - 0,1

Passo 1

Eaeee, tudo tranquilinho??? Bom... o enunciado nos deu essa função (bem cabulosa haha):

f x , y = e - x / 10 x + y + x y

Queremos elaborar o gráfico de f e também o gráfico do plano tangente ao ponto   1,1 , 3 e - 0,1 .

Lembrando que, para isso, temos a seguinte fórmula geral para uma equação do plano tangente a uma superfície z = f ( x , y ) no ponto x 0 , y 0 , z 0 :

z - z 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0

Dessa forma, podemos inferir que:

x 0 , y 0 , z 0 =   1,1 , 3 e - 0,1

Assim, só nos resta calcular as derivadas parciais ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , bem como plotar os gráficos!!!

Simples né??....Brincadeeeira haha.

Aqui a gente vai utilizar alguma ferramenta computacional tanto para gerar os gráficos quanto para calcular as derivadas (o enunciado nos pede isso).

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Bom... ao aplicar em um software matemático, encontramos a seguinte derivada ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e - x 10 x + y + x y ∴

∂ f ∂ x = e - x 10 2 1 x + y x y - x + y + x y 5

Aplicando o ponto dado, temos:

∂ f ∂ x 1,1 , 3 e - 0,1 = 0,633

Agora vamos fazer o mesmo para ∂ f ∂ y .

Passo 3

Bom... ao aplicar em um software matemático, encontramos a seguinte derivada ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e - x 10 x + y + x y ∴

∂ f ∂ y = e - x 10 2 1 y + x x y

Aplicando o ponto dado, temos:

∂ f ∂ y 1,1 , 3 e - 0,1 = 0,905

Passo 4

Do Passo 1, vimos a seguinte expressão para o plano tangente em um ponto genérico:

z - z 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 y - y 0

Desta forma, substituindo os valores que encontramos, temos:

z - 3 e - 0,1 ⏟ z 0 = 0,633 ⏟ ∂ f ∂ x ⋅ x - 1 ⏟ x 0 + 0,905 ⏟ ∂ f ∂ y ⋅ y - 1 ⏟ y 0 ∴

z = 0,633 x + 0,905 y + 1,176

Passo 5

Plotando o gráfico da nossa função f x , y , temos:

Traçando agora o gráfico do plano tangente, temos:

Se a gente colocar os dois juntos e der um zoom no ponto dado até eles ficarem quase indistinguíveis, teremos:

Obs: o gráfico do plano agora é dado em azul.

Resposta

Gráfico de f :

Gráfico do plano:

Zoom aplicado no ponto dado:

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