Lista de Exercícios Resolvidos de Plano Tangente
Considere a superfície formada pelos pontos satisfazendo a equação
Onde é um número real.
- Escreva a equação do plano tangente a no ponto
- Encontre de modo que o plano tangente a no ponto contenha a origem.
Considere a função
Encontre os pontos do gráfico de onde o plano tangente é horizontal, isto é, de equação cartesiana ( constante)
Ver solução completaVerifique que o elipsoide e a esfera se tangenciam (ou seja, possuem o mesmo plano tangente) no ponto .
Ver solução completaDetermine a equação dos planos tangentes ao gráfico de , que passam, ambos, pelos pontos e .
Ver solução completaEncontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto dado:
Ver solução completaConsidere a superfície formada pelos pontos satisfazendo a equação
Onde é um número real.
- Escreva a equação do plano tangente a no ponto
- Encontre de modo que o plano tangente a no ponto contenha a origem.
O plano tangente à superfície no ponto intercepta o eixo dos quando:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaSeja a superfície dada pela equação .
(a) Determine a equação do plano tangente , num ponto genérico de .
(b) Determine os pontos de , onde o plano tangente é paralelo ao plano
(c) Determine os valores numéricos de e descreva a curva formada pelos pontos de , de tal modo que o plano tangente , encontrado em (a), contenha a origem.
Ver solução completaSeja uma função diferenciável e a curva de equação . Assuma que o ponto pertence a e e . Se é a equação da reta tangente a em , então vale:
(a) 3
(b) 1
(c) -1
(d) 0
(e) 2
Ver solução completaSeja uma função diferenciável no ponto . Sabe-se que o plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por . Quanto valem , e , respectivamente?
(a) e
(b) , e
(c) e
(d) e
(e) e
Ver solução completaDetermine a equação do plano tangente à superfície
no ponto .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras alternativas.
Ver solução completaSeja a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto . Se , e , o valor de é:
(a) 2
(b) -2
(c) 0
(d) 4
(e) -6
Ver solução completaA equação do plano tangente à superfície
no ponto é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) nenhuma das outras alternativas
Ver solução completaConsidere o elipsoide . Por quais dos seguintes pares de pontos o elipsoide possui planos tangentes paralelos?
(a) e .
(b) e .
(c) e .
(d) e .
(e) e .
Ver solução completaConsidere a superfície quádrica dada pela equação
(a) Identifique e esboce o gráfico de mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados, , e .
(b) Determine as equações paramétricas da curva , interseção de com o plano .
(c) Determine as equações paramétricas dos planos tangentes à que são paralelos ao plano .
Ver solução completaSeja uma função diferenciável tal que é equação do plano tangente a em .
(a) Obtenha e .
(b) Seja . Obtenha as expressões de e em função das derivadas parciais de .
(c) Seja uma curva diferenciável tal que a sua imagem está contida na intersecção do gráfico de com a superfície . Dê a equação da reta tangente a no ponto .
Ver solução completaApenas uma das funções, ou , admite plano tangente a seu gráfico no ponto
a) Determine uma equação para esse plano.
b) Justifique por que a outra função não admite plano tangente em .
Ver solução completaVerifique que o elipsoide e a esfera se tangenciam (ou seja, possuem o mesmo plano tangente) no ponto .
Ver solução completaDetermine os pontos da superfície nos quais o plano tangente é paralelo ao plano .
Ver solução completaEncontre a equação do plano tangente ao paraboloide e, simultaneamente, paralelo ao plano
Ver solução completaDetermine a equação dos planos tangentes ao gráfico de , que passam, ambos, pelos pontos e .
Ver solução completaConsidere a função em que é uma função diferenciável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de em um ponto arbitrário passa pela origem.
Ver solução completaDetermine a equação do plano tangente à superfície no ponto .
Ver solução completaDuas superfícies são tangentes num ponto , se elas tiverem um plano tangente comum no ponto . Se as superfícies de equações
São tangentes no ponto , então o valor de é
Em quais pontos da superfície
O plano tangente à superfície nesses pontos contém a origem ?
- tais que e
- tais que e
- tais que e
- tais que e
- tais que e
Considere a função
E as seguintes afirmações:
- O gráfico de é a parte de cima de um cone elíptico.
- Nenhum plano tangente ao gráfico de é paralelo ao plano
- O vetor é normal ao gráfico de no ponto
Marque a alternativa correta:
- Todas as afirmações são falsas
- Apenas as afirmações I e II são verdadeiras
- Apenas as afirmações I e II são falsas
- Todas as afirmações são verdadeiras
- Apenas as afirmação I e III são verdadeiras
Considere as superfícies
e
Determine a equação de um plano que seja tangente à superfície e que contenha o ponto . Quantos planos existem assim? Por quê?
Ver solução completaConsidere a função
Encontre a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de em , explicitando o normal ao plano neste ponto.
Ver solução completaO gráfico da função
Possui um plano tangente em ?
SIM e a equação deste plano é
NÃO, uma vez que não é uma função contínua
SIM e a equação deste plano é
SIM e a equação deste plano é
NÃO, uma vez que as derivadas parciais de não são contínuas
Ver solução completaSeja a superfície dada pelo gráfico de uma função diferenciável . Sabendo que o plano tangente a no ponto é
Quanto valem , e respectivamente?
e ;
e ;
e ;
e ;
e ;
Ver solução completaDetermine a equação de um plano que seja paralelo ao plano
E tangente ao gráfico da função
Ver solução completaSeja a função
- Verifique se o plano tangente ao gráfico de em passa pela origem.
Seja
b) Encontre apenas um ponto onde o plano tangente a superfície de nível , neste ponto, seja paralelo ao plano
Ver solução completaConsidere a superfície e o ponto . O plano tangente a em satisfaz a seguinte equação:
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas
Ver solução completaConsidere a função:
- Utilizando a derivação implícita, escreva a equação do plano tangente a função no ponto .
Encontre os pontos sobre a superfície
De tal maneira que o plano tangente seja paralelo ao plano .
Ver solução completaSejam e os dois primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é , então e ). Considere a função .
- Dados positivos, determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
- Determine o plano tangente ao gráfico de que forma com os planos coordenados o tetraedro de volume mínimo.
Dica: O volume do tetraedro é o valor da área da base multiplicado pela altura, dividido por .
Ver solução completaEncontre os pontos no elipsoide onde o plano tangente é paralelo ao plano .
Ver solução completaSeja uma função diferenciável no ponto . Se o plano tangente ao gráfico de no ponto é , então é: