1.

Considere a superfície S formada pelos pontos x , y , z ∈ R 3 satisfazendo a equação

x y z = e β x

Onde β é um número real.

  1. Escreva a equação do plano tangente a S no ponto P 0 = 3 , 1 3 ,   e 3 β ∈ S
  2. Encontre β de modo que o plano tangente a S no ponto P 0 contenha a origem.
Resolução
2.

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

Encontre os pontos x , y , z do gráfico de f onde o plano tangente é horizontal, isto é, de equação cartesiana z = c ( c constante)

Resolução
3.

Encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto dado:

z = 9 - 5 x 2 - 3 y 2

P = ( 1 , - 1 )

Resolução
4.

Verifique que o elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 se tangenciam (ou seja, possuem o mesmo plano tangente) no ponto ( 1,1 , 2 ) .

Resolução
5.

Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de f x , y = 7 - x 2 - y 2 , que passam, ambos, pelos pontos 1,0 , 7 e 3,0 , 3 .

Resolução
6.

Considere a superfície S formada pelos pontos x , y , z ∈ R 3 satisfazendo a equação

x y z = e β x

Onde β é um número real.

  1. Escreva a equação do plano tangente a S no ponto P 0 = 3 , 1 3 ,   e 3 β ∈ S
  2. Encontre β de modo que o plano tangente a S no ponto P 0 contenha a origem.
Resolução
7.

Seja 2 x - 3 y + z = 1 a equação do plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 3 ,   2 ) . Se x = u 2 + 2 , y = 2 u v e F u , v = f ( x u , v ,   y u , v ) , o valor de ∂ F ∂ u 1,1 é:

(a) 2

(b) -2

(c) 0

(d) 4

(e) -6

Resolução
8.

Seja S a superfície dada pela equação z = x 2 - y ² .

(a) Determine a equação do plano tangente T , num ponto genérico ( a , b , c ) de S .

(b) Determine os pontos de S , onde o plano tangente é paralelo ao plano

4 x + 2 y + z = 11

(c) Determine os valores numéricos de c e descreva a curva formada pelos pontos ( a , b , c ) de S , de tal modo que o plano tangente T , encontrado em (a), contenha a origem.

Resolução
9.

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável e C a curva de equação f x , y = 2 . Assuma que o ponto ( 1,2 ) pertence a C e f x 1,2 = 1 e f y 1,2 = - 2 . Se x + a y + b = 0 é a equação da reta tangente a C em ( 1,2 ) , então a + b vale:

(a) 3

(b) 1

(c) -1

(d) 0

(e) 2

Resolução
10.

O plano tangente à superfície x 4 + y 2 + 2 z 2 = 4 no ponto ( 1,1 , 1 ) intercepta o eixo dos x quando:

(a) x = 1 4

(b) x = 1

(c) x = 5 2

(d) x = 0

(e) x = 2

Resolução
11.

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 1,2 ) . Sabe-se que o plano tangente ao gráfico de f ( x , y ) no ponto ( 1,2 ) é dado por x + 2 y + 3 z = 11 . Quanto valem f x ( 1,2 ) , f y ( 1,2 ) e f ( 1,2 ) , respectivamente?

(a) - 1 3 ,   - 2 3 e 2

(b) 1 , 2 e 11

(c) 1 ,   2   e 2

(d) 1 3 , 2 3 e 2

(e) - 1 3 ,   - 2 3   e 11

Resolução
12.

Determine a equação do plano tangente à superfície

z = x sen ⁡ ( x + y )

no ponto ( - 1 ,   1 ,   0 ) .

(a) x + y + z = 0

(b) x - y - z = - 2

(c) x + y - z = 0

(d) x - y + z = 2

(e) Nenhuma das outras alternativas.

Resolução
13.

A equação do plano tangente à superfície

z = 4 - x 2 - 2 y 2

no ponto ( 1 , - 1 ,   1 ) é igual a:

(a) 3 x - 2 y - z = 9

(b) 2 x - 2 y + z = 5

(c) x - 2 y + 2 z = 5

(d) x - 2 y + z = 4

(e) nenhuma das outras alternativas

Resolução
14.

Considere a superfície quádrica S dada pela equação

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36

(a) Identifique e esboce o gráfico de S mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados, x = 0 , y = 0 e z = 0 .

(b) Determine as equações paramétricas da curva γ , interseção de S com o plano x = 0 .

(c) Determine as equações paramétricas dos planos tangentes à S que são paralelos ao plano x - 4 y + 9 z = 1 .

Resolução
15.

Considere o elipsoide x 2 + y 2 + 2 z 2 = 1 . Por quais dos seguintes pares de pontos o elipsoide possui planos tangentes paralelos?

(a) 1 2 , 1 2 , 1 2 e 1 2 , 1 2 , - 1 2 .

(b) 0,1 , 0 e ( - 1,0 , 0 ) .

(c) ( 0,1 , 0 ) e ( 0 , - 1,0 ) .

(d) ( 0,1 , 0 ) e ( 1,0 , 0 ) .

(e) ( 0,0 , 1 ) e ( 0,0 , - 1 ) .

Resolução
16.

Apenas uma das funções, f ou g , admite plano tangente a seu gráfico no ponto P = 0,0 , 0  

f x , y = x 2 y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

g x , y = x 2 + y 2 sin ⁡ y x 2 + y 2 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

a) Determine uma equação para esse plano.

b) Justifique por que a outra função não admite plano tangente em P .

Resolução
17.

Seja f = f ( x , y ) uma função diferenciável tal que z = 3 x + y - 2 é equação do plano tangente a f em ( 1,1 , f 1,1 ) .

(a) Obtenha ∂ f ∂ x ( 1,1 ) e ∂ f ∂ y ( 1,1 ) .

(b) Seja g u , v = f ( u 2 + 3 v , v 2 ) . Obtenha as expressões de ∂ g ∂ u u , v   e ∂ g ∂ v u , v em função das derivadas parciais de f .

(c) Seja γ uma curva diferenciável tal que a sua imagem está contida na intersecção do gráfico de g com a superfície S = { u , v , w ∈ R 3   :   u 2 + v 2 + w 2 - 4 u + 2 v + 1 = 0 } . Dê a equação da reta tangente a γ no ponto ( 2 , - 1 , g 2 , - 1 ) .

Resolução
18.

Verifique que o elipsoide 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 9 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y - 8 z + 24 = 0 se tangenciam (ou seja, possuem o mesmo plano tangente) no ponto ( 1,1 , 2 ) .

Resolução
19.

Determine os pontos da superfície x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano 3 x - y + 3 z = 1 .

Resolução
20.

Encontre a equação do plano tangente ao paraboloide z = 2 x 2 + 3 y 2 e, simultaneamente, paralelo ao plano 4 x - 3 y - z = 10 .

Resolução
21.

Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de f x , y = 7 - x 2 - y 2 , que passam, ambos, pelos pontos 1,0 , 7 e 3,0 , 3 .

Resolução
22.

Considere a função f x , y = x ϕ x 2 - y 2 em que ϕ : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f no ponto a , a , f a , a contém a origem.

Resolução
23.

Considere a função f x , y = x ψ x y em que ψ : R → R é uma função diferenciável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário a , b , f a , b passa pela origem.

Resolução
24.

Determine a equação do plano tangente à superfície z + 1 = x e y cos ⁡ z no ponto ( 1,0 , 0 ) .

Resolução
25.

Duas superfícies são tangentes num ponto P , se elas tiverem um plano tangente comum no ponto P . Se as superfícies de equações

x 2 + y 2 - z = 0

a x 3 + b x y + c z 2 = 35

São tangentes no ponto P = 1,2 , 5 , então o valor de a + b + c é

  1. 19
  2. 31
  3. - 12
  4. 13
  5. - 21
Resolução
26.

Considere a função

f x , y = 1 - x 2 - y 2 4

E as seguintes afirmações:

  1. O gráfico de f é a parte de cima de um cone elíptico.
  2. Nenhum plano tangente ao gráfico de f é paralelo ao plano z = 2
  3. O vetor 0 , 3 3 ,   1 é normal ao gráfico de f no ponto 0 ,   1 , 3 2

Marque a alternativa correta:

  1. Todas as afirmações são falsas
  2. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras
  3. Apenas as afirmações I e II são falsas
  4. Todas as afirmações são verdadeiras
  5. Apenas as afirmação I e III são verdadeiras
Resolução
27.

Em quais pontos ( x , y , z ) da superfície

z = 8 + 2 ( x 2 + y 2 )

O plano tangente à superfície nesses pontos contém a origem ( 0 , 0,0 ) ?

  1. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 2 e z = 8
  2. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 4 e z = 16
  3. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 4 e z = 4
  4. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 1 e z = 10
  5. ( x , y , z ) tais que x 2 + y 2 = 2 e z = 12
Resolução
28.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 : x + z - 6 x y + 6 y z = 1

e

S 2 = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x z = 1 .

Determine a equação de um plano que seja tangente à superfície S 1 e que contenha o ponto 0 ,   0 ,   0 . Quantos planos existem assim? Por quê?

Resolução
29.

Considere a função

f x , y = x y e x y

Encontre a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de f em ( 1,0 , 0 ) , explicitando o normal ao plano neste ponto.

Resolução
30.

O gráfico da função

z = ln ⁡ x - 2 y

Possui um plano tangente em ( 3,1 , 0 ) ?

a SIM e a equação deste plano é 3 x + y = 0

b NÃO, uma vez que z = f ( x , y ) não é uma função contínua

c SIM e a equação deste plano é x - 2 y = 0

d SIM e a equação deste plano é x - 2 y - z = 1

e NÃO, uma vez que as derivadas parciais de f ( x , y ) não são contínuas

Resolução
31.

Seja

f x , y = x cos ⁡ x y

Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f contém a origem.

Resolução
32.

Determine a equação de um plano que seja paralelo ao plano

z = 2 x + 3 y

E tangente ao gráfico da função

f x , y = x 2 + x y

Resolução
33.

No ponto P a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , tem plano tangente ortogonal a y = 1 . Assinale a alternativa correta:

  1. P = 1 2 , 1 2 , 1 2
  2. P = 0 , - 1,0
  3. P = 1 2 , 0 , - 1 2
  4. P = 0,1 , 0
  5. Não sei
Resolução
34.

Seja a função

f x , y = x 3 x 2 + y 2

  1. Verifique se o plano tangente ao gráfico de f em x = 1 ,   y = 1 passa pela origem.
Resolução
35.

Seja f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

b) Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 , z 0 onde o plano tangente a superfície de nível f x , y , z = 1 , neste ponto, seja paralelo ao plano x + y = 3

Resolução
36.

Seja S a superfície dada pelo gráfico de uma função diferenciável f x , y . Sabendo que o plano tangente a S no ponto 1,4 , f 1,4 é

x - y + 2 z = 1

Quanto valem f x 1,4 , f y 1,4 e f 1,4 respectivamente?

a - 1 2 , 1 2 e 1 2 ;

b - 1 ,   1 e 1 ;

c 1 ,   - 1 e 1 ;

d 1 , - 1 e 1 2 ;

e - 1 2 , 1 2 e 2 ;

Resolução
37.

Considere a superfície S =   x , y , z ∈ R 3 f x , y , z - 2 z = 0 }   e o ponto P 0 = x 0 , y 0 ,   z 0   ∈ S . O plano tangente a S em P 0 satisfaz a seguinte equação:

a) f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 - 2 z - z 0 = 0

b) f x x , y , z x - x 0 + f y x , y , z y - y 0 + f z x , y , z - 2 z - z 0 = 0

c) z = z 0 + 1 2 f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0

d) z = z 0 + 1 2 f x x , y , z x - x 0 + f y x , y , z y - y 0

e) Nenhuma das alternativas

Resolução
38.

Considere a função:

f x , y = 5 x 2 + y 2

  1. Escreva a equação do plano tangente a função no ponto 1,2 .
Resolução
39.

Considere a função:

f x , y = 5 x 2 + y 2

  1. Utilizando a derivação implícita, escreva a equação do plano tangente a função no ponto 1,2 .
Resolução
40.

Encontre os pontos sobre a superfície

x 2 + y 2 - z 2 = - 2

De tal maneira que o plano tangente seja paralelo ao plano x + y + 2 z = 1 .

Resolução
41.

Encontre os pontos no elipsoide x 2 4 + y 2 9 + z 2 = 14 onde o plano tangente é paralelo ao plano x - y - z = 0 .

Resolução
42.

Sejam m e m os dois primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é 123.456.789 - 0 , então m = 1 e n = 2 ). Considere a função f x , y = m + 1 + x n + 2 + y n + 2 .

  1. Dados x 0 , y 0 ∈ R positivos, determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 .
  2. Determine o plano tangente ao gráfico de f que forma com os planos coordenados o tetraedro de volume mínimo.

Dica: O volume do tetraedro é o valor da área da base multiplicado pela altura, dividido por 3 .

Resolução
43.

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto 0,1 . Se o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0,1 é x + 2 y + 3 z = 1 , então ∇ f 0,1