Enunciado

Determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y . Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor preços unitários p 1 e p 2 , respectivamente, que dependem de x e y conforme equações p 1 = 120 - 2 x e p 2 = 200 - y . O custo total da empresa para produzir e vender quantidades dos produtos é C = x 2 + 2 y 2 + 2 x y . Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro.

Passo 1

Perceba que precisamos determinar a função lucro pra poder encontrar o máximo. Beleza?

Função lucro nada mais é que o que sobra do preço unitário de cada produto pelo custo de produção. Ou seja,

g x ,   y = P 1 x + P 2 y - C

Substituindo,

g x ,   y = 120 x - 3 x 2 + 200 y - 3 y 2 - 2 x y

Agora precisamos encontrar quem maximiza a função. Então vamo lá!!!

Vamos derivar a função,

∂ g ∂ x x ,   y =   120 - 6 x - 2 y

E,

∂ g ∂ y x ,   y = 200 - 6 y - 2 x  

Encontrando o número crítico,

∂ g ∂ x x ,   y 0 = ∂ g ∂ y x ,   y

Temos que

120 - 6 x - 2 y = 0 200 - 6 y - 2 x   = 0  

Organizando o sistema

6 x + 2 y = 120 2 x + 6 y   = 200  

Multiplicando a segunda equação por - 3

6 x + 2 y = 120 - 6 x - 18 y   = - 60 0

Somando as duas equações,

- 16 y = 480 → y = 30

Voltando pra primeira

6 x + 2 30 = 120 → 6 x = 60 → x = 10

Como ∂ 2 g ∂ x 2 x ,   y = - 6 < 0   e H = - 6 - 2 - 2 - 6 = 36 - 4 = 32 > 0 , temos um máximo.

Resposta

( 10,30 )

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