Enunciado

Determinar dois vetores unitários, tangentes à curva definida pela função dada, no ponto indicado.

c) h → t = 1 2 t ,   t + 1 ,   t + 1 ; P 1 ,   3 ,   3

Passo 1

A ideia nessa questão será encontrar qual é o ponto da curva tal que h → t 0 = P , em seguida, vamos encontrar a derivada da curva. Para finalizar, vamos achar o a valor da derivada no ponto t 0 e fazer o vetor unitário nesse ponto. Vem comigo!

A curva que ele nos deu foi a seguinte:

h → t = 1 2 t ,   t + 1 ,   t + 1

Então vamos achar qual é o ponto t 0 onde g → t 0 = P . Vem comigo!

h → t = 1 2 t ,   t + 1 ,   t + 1

Como queremos g → t 0 = P :

1 2 t ,   t + 1 ,   t + 1 = 1 ,   3 ,   3

Pelas coordenadas z :

t + 1 = 3 → t = 2

Passo 2

Para acharmos um vetor tangente a curva, vamos derivar a expressão da curva.

h → t = 1 2 t ,   t + 1 ,   t + 1

Derivando:

h ' → t = 1 2 ,   t + 1 ' ,   1

Essa coordenada y , vamos calcular separado!

t + 1 ' = t + 1 1 2 '

Assim,

t + 1 ' = 1 2 t + 1 -   1 2

Então h ' → t fica o seguinte:

h ' → t = 1 2 , 1 2 t + 1 -   1 2 ,   1

Passo 3

Pra finalizar, bora vamos calcular o valor de f ' → t no ponto t = t 0 , isto é, t = 2 .

h ' → t = 1 2 , 1 2 t + 1 -   1 2 ,   1

No ponto t = 2 :

h ' → 2 = 1 2 , 1 2 2 + 1 -   1 2 ,   1

Fazendo as contas:

h ' → 2 = 1 2 , 1 2 3 ,   1

Passo 4

Mas ainda não acabou, pois ele nos pede dois vetores unitário. Para isso, vamos “dividir” o vetor pelo seu módulo. Se liga só:

u → = 1 1 2 2 + 1 2 3 2 + 1 2 × 1 2 , 1 2 3 ,   1

Arrumando as coisas:

u → = 3 2 × 1 2 , 1 2 3 ,   1

Portanto,

u → = 3 4 , 1 4 ,   3 2

Como ele nos pede dois vetores podemos apenas mudar o sentido do vetor que achamos, o que irá gerar um vetor ainda tangente. Logo,

± 3 4 , 1 4 ,   3 2

Resposta

± 3 4 , 1 4 ,   3 2

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