Enunciado

1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

(a) f x = 1 x ; x = 1 3   ,   x = 3 .

Passo 1

Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:

c o e f i c i e n t e   a n g u l a r = f ' a

Onde a representa o ponto desejado.

Passo 2

Temos que calcular então a derivada da curva f x . Podemos rescrever a função da seguinte forma:

f x = x - 1

Calculando a derivada temos:

f ' x = - 1 × x - 1 - 1

f ' x = - x - 2

f ' x = - 1 x 2

A derivada de f x é f ' x = - 1 x 2

Passo 3

Para encontra o coeficiente angular da reta tangente m , é só calcularmos f ' a .

Temos que para a = 1 3 :

f ' 1 3 = - 1 1 3 2

f ' 1 3 = - 9

Temos então que m = - 9 para a reta tangente no ponto x = 1 3 .

Temos que para a = 3 :

f ' 3 = - 1 3 2

f ' 3 = - 1 9

Temos então que m = - 1 9 para a reta tangente no ponto x = 3 .

Passo 4

Para encontrarmos a equação de uma reta, precisamos do coeficiente angular e um ponto que onde passa a reta.

Para x = 1 3 podemos encontrar esse ponto calculando f 1 3 .

f 1 3 = 1 1 3

f 1 3 = 3

Um ponto por onde a reta tangente passa é 1 3   ,   3 .

Para x = 3 podemos encontrar esse ponto calculando f 3 .

f 3 = 1 3

Um ponto por onde a reta tangente passa é 3   ,   1 3 .

Passo 5

Toda reta pode ser escrita da seguinte forma:

y = m x + c

Onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear.

Para x = 1 3 , temos que m = - 9 e temos que a reta passa pelo ponto 1 3   ,   3 , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar c .

3 = - 9 1 3 + c

3 = - 3 + c

c = 6

O coeficiente linear da reta é c = 6 , assim a equação da reta é:

y = - 9 x + 6

Para x = 3 , temos que m = - 1 9 e temos que a reta passa pelo ponto 3   , 1 3 , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar c .

1 3 = - 1 9 3 + c

1 3 = - 1 3 + c

c = 2 3

O coeficiente linear da reta é c = 2 3 , assim a equação da reta é:

y = - 1 9 x + 2 3

Passo 6

O gráfico da função e das retas tangentes é o seguinte:

Resposta

Para x = 1 3

y = - 9 x + 6

Para x = 3

y = - 1 9 x + 2 3

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