Enunciado

1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

(c) f x = 2 x   ; x = 0   ,   x = 3 ,   x = a ,   a > 0 .

Passo 1

Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:

c o e f i c i e n t e   a n g u l a r = f ' b

Onde a representa o ponto desejado.

Passo 2

Temos que calcular então a derivada da curva f x . Podemos rescrever a função da seguinte forma:

f x = 2 x 1 2

Calculando a derivada temos:

f ' x = 1 2 × 2 x 1 2 - 1

f ' x = x - 1 2

f ' x = 1 x 1 2

f ' x = 1 x

A derivada de f x é f ' x = 1 x

Passo 3

Para encontra o coeficiente angular da reta tangente m , é só calcularmos f ' b .

Temos que para b = 0 :

lim x → 0 + ⁡ 1 x = ∞

Portanto, usando 4.1 . 2 , segue que x = 0 é a equação da reta tangente.

Temos que para b = 3 :

f ' 3 = 1 3

Temos então que m = 1 3 para a reta tangente no ponto x = 3 .

Temos que para b = a :

f ' a = 1 a

Temos então que m = 1 a para a reta tangente no ponto x = a .

Passo 4

Para encontrarmos a equação de uma reta, precisamos do coeficiente angular e um ponto que onde passa a reta.

Para x = 3 podemos encontrar esse ponto calculando f 3 .

f 3 = 2 3

Um ponto por onde a reta tangente passa é 3   ,   2 3 .

Para x = a podemos encontrar esse ponto calculando f a .

f a = 2 a

Um ponto por onde a reta tangente passa é a   ,   2 a .

Passo 5

Toda reta pode ser escrita da seguinte forma:

y = m x + c

Onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear.

Para x = 3 , temos que m = 1 3 e temos que a reta passa pelo ponto 3   ,   2 3 , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar c .

2 3 = 1 3   3 + c

2 3 = 3 3   + c

c = 2 3 - 3 3

c = 3 3

c = 3

O coeficiente linear da reta é c = 3 , assim a equação da reta é:

y = 1 3   x + 3

Para x = a , temos que m = 1 a e temos que a reta passa pelo ponto a   ,   2 a , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar c .

2 a = 1 a a + c

2 a = a a + c

c = 2 a - a a

c = a a

c = a

O coeficiente linear da reta é c = a , assim a equação da reta é:

y = 1 a x + a

Passo 6

Para x = 3 , e x = a , onde supomos a = 1 2 , temos que o gráfico é o seguinte:

Resposta

Para x = 3

y = 1 3   x + 3

Para x = a

y = 1 a x + a

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