Enunciado

1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

(b) f x = 1 x - a   ,   a ∈ R - - 2   ,   4 ; x = - 2   ,   x = 4 .

Passo 1

Podemos calcular o coeficiente angular de uma reta tangente usando a definição da derivada de uma função, em que o coeficiente da reta tangente é a derivada da função no ponto desejado. Ou seja:

c o e f i c i e n t e   a n g u l a r = f ' b

Onde a representa o ponto desejado.

Passo 2

Temos que calcular então a derivada da curva f x . Para isso podemos usar a regra do cociente.

f x = 1 x - a

f ' x = 1 ' × x - a - 1 × x - a ' x - a 2

f ' x = 0 × x - a - 1 × 1 x - a 2

f ' x = - 1 x - a 2

A derivada de f x é f ' x = - 1 x - a 2

Passo 3

Para encontra o coeficiente angular da reta tangente m , é só calcularmos f ' b .

Temos que para b = - 2 :

f ' - 2 = - 1 - 2 - a 2

f ' - 2 = 1 a + 2 2

Temos então que m = 1 a + 2 2 para a reta tangente no ponto x = - 2 .

Temos que para b = 4 :

f ' 4 = - 1 4 - a 2

f ' 4 = 1 a - 4 2

Temos então que m = 1 a - 4 2 para a reta tangente no ponto x = 4 .

Passo 4

Para encontrarmos a equação de uma reta, precisamos do coeficiente angular e um ponto que onde passa a reta.

Para x = - 2 podemos encontrar esse ponto calculando f - 2 .

f - 2 = 1 - 2 - a

f - 2 = - 1 a + 2

Um ponto por onde a reta tangente passa é - 2   , - 1 a + 2 .

Para x = 4 podemos encontrar esse ponto calculando f 4 .

f 4 = 1 4 - a

Um ponto por onde a reta tangente passa é 4   ,   1 4 - a .

Passo 5

Toda reta pode ser escrita da seguinte forma:

y = m x + c

Onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear.

Para x = - 2 , temos que m = 1 a + 2 2 e temos que a reta passa pelo ponto - 2   , - 1 a + 2 , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar c .

- 1 a + 2 = 1 a + 2 2 - 2 + c

- 1 a + 2 = - 2 a + 2 2 + c

c = - 1 a + 2 + 2 a + 2 2

c = 2 - a + 2 a + 2 2

c = - a a + 2 2

O coeficiente linear da reta é c = - a a + 2 2 , assim a equação da reta é:

y = 1 a + 2 2 x - a a + 2 2

Para x = 4 , temos que m = 1 a - 4 2 e temos que a reta passa pelo ponto 4   ,   1 4 - a , assim podemos substituir na equação da reta e encontrar c .

1 4 - a = 1 a - 4 2 4 + c

1 4 - a = 4 a - 4 2 + c

c = 1 4 - a - 4 a - 4 2

c = 4 - a - 4 a - 4 2

c = - a a - 4 2

O coeficiente linear da reta é c = - a a - 4 2 , assim a equação da reta é:

y = 1 a - 4 2 x - a a - 4 2

Passo 6

O gráfico para os dois pontos dados x = - 2 , e x = 4 com a = 3 é o seguinte:

Resposta

Para x = - 2

y = 1 a + 2 2 x - a a + 2 2

Para x = 4

y = 1 a - 4 2 x - a a - 4 2

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